Question

12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C：x²+y²=2，Q（3，0），圓外一動(dòng)點(diǎn)M到圓C的切線長與|MQ|的比值為$\sqrt{2}$
（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）若斜率為k且過點(diǎn)P（0，2）的直線l和動(dòng)點(diǎn)M的軌跡和交于A，B兩點(diǎn)，是否存在常數(shù)k，使$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$與$\overrightarrow{PQ}$共線？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)M（x，y），推導(dǎo)出|MO|²-2=2|MQ|²，由此能求出點(diǎn)M的軌跡方程．
（2）設(shè)l的方程為：y=kx+2，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+2\\{x^2}+{y^2}-12x+20=0\end{array}\right.$，得：（1+k²）x²+（4k-12）x+24=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、向量知識(shí)，結(jié)合已知條件能求出存在常數(shù)$k=-\frac{9}{7}$使得$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$與$\overrightarrow{PQ}$共線．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）設(shè)M（x，y），
∵M(jìn)到圓C的切線長與|MQ|的比值為$\sqrt{2}$，
∴|MO|²-2=2|MQ|²，
∴x²+y²-2=2[（x-3）²+y²]
整理得：x²+y²-12x+20=0，
∴點(diǎn)M的軌跡方程為：x²+y²-12x+20=0．（4分）
（2）設(shè)l的方程為：y=kx+2，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+2\\{x^2}+{y^2}-12x+20=0\end{array}\right.$，得：（1+k²）x²+（4k-12）x+24=0，
由△＞0，得5k²+6k-3＜0（*）
∴${x_1}+{x_2}=\frac{12-4k}{{1+{k^2}}}，{y_1}+{y_2}=\frac{4+12k}{{1+{k^2}}}$，
∴$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$=（$\frac{12-4k}{1+{k}^{2}}$，$\frac{4+12k}{1+{k}^{2}}$），（8分）
∵$\overrightarrow{PQ}$=（3，-2），若$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$與$\overrightarrow{PQ}$共線，則2（12-4k）+3（4+12k）=0，
∴$k=-\frac{9}{7}$代入（*）中符合題意．
∴存在常數(shù)$k=-\frac{9}{7}$使得$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$與$\overrightarrow{PQ}$共線．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查兩向量是否共線的判斷與求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意根的判別式、韋達(dá)定理、向量知識(shí)、橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．