分析 (1)設M(x,y),推導出|MO|2-2=2|MQ|2,由此能求出點M的軌跡方程.
(2)設l的方程為:y=kx+2,聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+2\\{x^2}+{y^2}-12x+20=0\end{array}\right.$,得:(1+k2)x2+(4k-12)x+24=0,由此利用根的判別式、韋達定理、向量知識,結(jié)合已知條件能求出存在常數(shù)$k=-\frac{9}{7}$使得$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$與$\overrightarrow{PQ}$共線.
解答 (本小題滿分12分)
解:(1)設M(x,y),
∵M到圓C的切線長與|MQ|的比值為$\sqrt{2}$,
∴|MO|2-2=2|MQ|2,
∴x2+y2-2=2[(x-3)2+y2]
整理得:x2+y2-12x+20=0,
∴點M的軌跡方程為:x2+y2-12x+20=0.(4分)
(2)設l的方程為:y=kx+2,
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+2\\{x^2}+{y^2}-12x+20=0\end{array}\right.$,得:(1+k2)x2+(4k-12)x+24=0,
由△>0,得5k2+6k-3<0(*)
∴${x_1}+{x_2}=\frac{12-4k}{{1+{k^2}}},{y_1}+{y_2}=\frac{4+12k}{{1+{k^2}}}$,
∴$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$=($\frac{12-4k}{1+{k}^{2}}$,$\frac{4+12k}{1+{k}^{2}}$),(8分)
∵$\overrightarrow{PQ}$=(3,-2),若$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$與$\overrightarrow{PQ}$共線,則2(12-4k)+3(4+12k)=0,
∴$k=-\frac{9}{7}$代入(*)中符合題意.
∴存在常數(shù)$k=-\frac{9}{7}$使得$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$與$\overrightarrow{PQ}$共線.(12分)
點評 本題考查點的軌跡方程的求法,考查兩向量是否共線的判斷與求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意根的判別式、韋達定理、向量知識、橢圓性質(zhì)的合理運用.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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