Question

4．在極坐標(biāo)系中，△OAB的三邊所在直線方程分別為$OA：θ=0，OB：θ=\frac{π}{2}，AB：ρcos（θ-\frac{π}{3}）=\sqrt{3}$，P為△OAB外接圓C上任一點(diǎn)，以極點(diǎn)O為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，取相同的單位長(zhǎng)度建立直角坐標(biāo)系．
（1）在直角坐標(biāo)系中，求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)和圓C的參數(shù)方程；
（2）求|PO|²+|PA|²+|PB|²的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）直線OA：y=0．OB：x=0．直線AB：$ρ（\frac{1}{2}cosθ+\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ）$=$\sqrt{3}$，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．可得A$（2\sqrt{3}，0）$，B（0，2）．利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得可得圓心M$（\sqrt{3}，1）$．，利用兩點(diǎn)之間的距離公式可得半徑r=2．
可得外接圓的直角坐標(biāo)方程，利用平方關(guān)系可得參數(shù)方程．
（2）設(shè)P$（\sqrt{3}+2cosθ，1+2sinθ）$．利用兩點(diǎn)之間的距離公式可得：|PO|²+|PA|²+|PB|²=24+8$sin（θ+\frac{π}{3}）$，即可得出．

解答 解：（1）直線OA：y=0．OB：x=0．直線AB：$ρ（\frac{1}{2}cosθ+\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ）$=$\sqrt{3}$，化為：x+$\sqrt{3}y$-2$\sqrt{3}$=0．
∴A$（2\sqrt{3}，0）$，B（0，2）．
可得圓心M$（\sqrt{3}，1）$．，半徑r=$\frac{1}{2}\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+{2}^{2}}$=2．
∴外接圓的直角坐標(biāo)方程為：$（x-\sqrt{3}）^{2}$+（y-1）²=4，
可得參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+2cosθ}\\{y=1+2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．
（2）設(shè)P$（\sqrt{3}+2cosθ，1+2sinθ）$．
|PO|²+|PA|²+|PB|²=$（\sqrt{3}+2cosθ）^{2}$+（1+2sinθ）²+$（2cosθ-\sqrt{3}）^{2}$+（1+2sinθ）²+$（\sqrt{3}+2cosθ）^{2}$+（2sinθ-1）²
=24+8$sin（θ+\frac{π}{3}）$∈[16，32]．
∴其最大值和最小值分別為32，16．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)、兩點(diǎn)之間的距離公式、三角函數(shù)求值、和差公式、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與參數(shù)方程，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．