Question

14．在路邊安裝路燈，燈柱AB與地面垂直，燈桿BC與燈柱AB所在平面與路面垂直，且∠ABC=120°，路燈采用錐形燈罩，射出的光線如圖中的陰影部分所示，∠ACD=60°，AD=24米，∠ACB=θ（30°≤θ≤45°）．
（Ⅰ）求燈柱AB的高度（用ξ表示）；
（Ⅱ）求燈柱AB與燈桿BC長(zhǎng)度之和的最小值，及取最小值時(shí)θ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件求得∠BAC=60°-θ，∠CAD=30°+θ，∠ADC=90°-θ．△ACD中，利用正弦定理求得AC的值，在△ABC中，由正弦定理求得燈柱AB的高度的值．
（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理求得BC的值，再根據(jù) S=AB+BC=8$\sqrt{3}$+16sin（2θ+60°）．根據(jù)30°≤θ≤45°，利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得S的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵∠ABC=120°，∠ACB=θ，∴∠BAC=60°-θ，
∵∠BAD=90°，∴∠CAD=30°+θ，
∵∠ACD=60°，∴∠ADC=90°-θ，
在△ACD中，∵$\frac{AD}{sin∠ACD}=\frac{AC}{sin∠ADC}$，∴$AC=\frac{24cosθ}{{sin{{60}°}}}=16\sqrt{3}cosθ$，
在△ABC中，∵$\frac{AB}{sin∠ACB}=\frac{AC}{sinB}$，∴$AB=\frac{ACsinθ}{{sin{{120}°}}}=\frac{{16\sqrt{3}sinθcosθ}}{{sin{{120}°}}}=16sin2θ$，
即燈柱AB的高度為16sin2θ米．…（6分）
（Ⅱ）在△ABC中，∵$\frac{BC}{sin∠BAC}=\frac{AC}{sinB}$，
∴$BC=\frac{{ACsin（{{60}°}-θ）}}{{sin{{120}°}}}=32cosθsin（{60°}-θ）=8\sqrt{3}+8\sqrt{3}cos2θ-8sin2θ$，
即$AB+BC=8\sqrt{3}+8\sqrt{3}cos2θ+8sin2θ=8\sqrt{3}+16sin（2θ+{60°}）$，
∵30°≤θ≤45°，∴120°≤2θ+60°≤150°，
∴當(dāng)θ=45°時(shí)，燈柱AB與燈桿BC長(zhǎng)度之和的最小值為$8\sqrt{3}+8$米．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，三角形的內(nèi)角和公式，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．