Question

已知tan(α-β)=

1

2

，tanβ=-

1

7

，且α∈(0，

π

4

)，β∈(

π

2

，π)．
（1）求tanα的值；
（2）求2α-β的值．

Answer 1

分析：（1）把所求式子中的角α變?yōu)椋é?β）+α，利用兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡后，將各自的值代入即可求出值；
（2）先把2α-β變?yōu)椋é?β）+α，利用兩角和的正切函數(shù)公式即可求出tan（2α-β）的值，然后根據(jù)α和β的范圍求出2α-β的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出2α-β的度數(shù)．

解答：解：（1）tanα=tan[(α-β)+β]=

tan(α-β)+tanβ

1-tan(α-β)tanβ

=

1 2 - 1 7

1+ 1 14

=

1

3

；（6分）
（2）tan(2α-β)=tan[(α-β)+α]=

tan(α-β)+tanα

1-tan(α-β)tanα

=1（9分）
∵0＜α＜

π

4

，

π

2

＜β＜π，
∴0＜2α＜

π

2

，-π＜-β＜-

π

2

∴-π＜2α-β＜0（11分）
∴2α-β=-

3π

4

．（13分）

點評：此題考查學(xué)生靈活運用兩角和與差的正切函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡求值，是一道基礎(chǔ)題．學(xué)生做題時注意角度的變換．