Question

11．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁C與截面DBC₁交于O點(diǎn)，AC，BD交于M點(diǎn)．
（1）求證：A、M、A₁、C₁四點(diǎn)共面；
（2）求證：C₁、O、M三點(diǎn)共線．

Answer 1

分析 （1）由A₁C₁∥AM，能證明A、M、A₁、C₁四點(diǎn)共面
（2）推導(dǎo)出C₁、M、O都是平面A₁ACC₁和平面DBC₁的公共點(diǎn)，由此能證明C₁，O，M三點(diǎn)共線．

解答 證明：（1）∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
A₁C與截面DBC₁交于O點(diǎn)，AC，BD交于M點(diǎn)，
∴A₁C₁∥AM，
∴A、M、A₁、C₁四點(diǎn)共面
（2）證明：∵C₁∈平面A₁ACC₁，且C₁∈平面DBC₁，
∴C₁是平面A₁ACC₁與平面DBC₁的公共點(diǎn)．
又∵M(jìn)∈AC，∴M∈平面A₁ACC₁．
∵M(jìn)∈BD，∴M∈平面DBC₁，
∴M也是平面A₁ACC₁與平面DBC₁的公共點(diǎn)，
∴C₁M是平面A₁ACC₁與平面DBC₁的交線．
∵O為 A₁C與截面DBC₁的交點(diǎn)，
∴O∈平面A₁ACC₁，O∈平面DBC₁，
即O也是兩平面的公共點(diǎn)，
∴O∈直線C₁M，即C₁，O，M三點(diǎn)共線．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四點(diǎn)共面的證明，考查三點(diǎn)共線的證明，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意平面的基本性質(zhì)及推論的合理運(yùn)用．