Question

【題目】已知函數.

（1）討論的導函數零點的個數；

（2）若函數的最小值為，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）由已知，根據求導公式和法則，可得函數的導函數為，構造函數，易知在上為單調遞增，則，因此若或時，函數沒有零點，所以函數只有一個零點1；若或時，函數存在唯一個零點，所以函數有兩個零點.

（2）由（1）知，可對的取值范圍，結合函數的單調性，進行分段討論，對參數各段取值，逐一求出函數的最小值是否為，若是即滿足題意，綜合全部從而可確定參數的取值范圍.

試題解析：（1），

令， ，故在上單調遞增

則

因此當或時， 只有一個零點；

當或時， 有兩個零點.

（2）當時， ，則函數在處取得最小值

當時，則函數在上單調遞增，則必存在正數，

使得.

若，則，函數在與上單調遞增，在上單調遞減，

又，故不符合題意.

若，則， ，函數在上單調遞增，

又，故不符合題意.

若，則，設正數

則，

與函數的最小值為矛盾.

綜上所述， ，即.