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【題目】已知函數.

(1)討論的導函數零點的個數;

(2)若函數的最小值為,求的取值范圍.

【答案】1)見解析(2

【解析】試題分析:(1)由已知,根據求導公式和法則,可得函數的導函數為,構造函數,易知上為單調遞增,則,因此若時,函數沒有零點,所以函數只有一個零點1;若時,函數存在唯一個零點,所以函數有兩個零點.

(2)由(1)知,可對的取值范圍,結合函數的單調性,進行分段討論,對參數各段取值,逐一求出函數的最小值是否為,若是即滿足題意,綜合全部從而可確定參數的取值范圍.

試題解析:(1),

, ,故上單調遞增

因此當時, 只有一個零點;

時, 有兩個零點.

(2)當時, ,則函數處取得最小值

時,則函數上單調遞增,則必存在正數,

使得.

,則,函數上單調遞增,在上單調遞減,

,故不符合題意.

,則, ,函數在上單調遞增,

,故不符合題意.

,則,設正數

,

與函數的最小值為矛盾.

綜上所述, ,即.

練習冊系列答案
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