Question

已知a＞0，設函數，．
（Ⅰ）求函數h（x）=f（x）-g（x）的最大值；
（Ⅱ）若e是自然對數的底數，當a=e時，是否存在常數k、b，使得不等式f（x）≤kx+b≤g（x）對于任意的正實數x都成立？若存在，求出k、b的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）先對函數h（x）求導可得，（x＞0），通過導數可判斷函數h（x）的單調區(qū)間，從而可求函數的極值，最值
（II）由（I）可知，當a=e時，h（x）=f（x）-g（x）的最大值為0，則可得f（x）≤g（x），若使得f（x）≤kx+b≤g（x）對于任意的正實數x都成立，根據導數知識可證，在x∈R時恒成立；即證
解答：解：（I）∵h（x）=f（x）-g（x）=alnx-2x+2a=alnx-（x＞0）（2分）
對函數h（x）求導可得，
∵x＞0
∴當時，h′（x）＞0，h（x）在（0，）上單調遞增，
當x時，h′（x）＜0，h（x）在（，+∞）上單調遞減
∴x=是函數h（x）唯一的極大值即是函數的最大值h（）=（4分）
（II）當a=e時，h（x）=f（x）-g（x）的最大值為0
即f（x）≤g（x），當且僅當x=時取等號（6分）
∴函數f（x，g（x）的圖象在x=處有且僅有一個公共點（）
∵，函數f（x）的圖象在x=處的切線斜率k=-
，函數g（x）在x=處的切線斜率k=-
∴f（x）與g（x）的圖象在x=處有公共的切線方程為y=-（8分）
設，

x
F'（x）	+		-
F（x）	↑	極大值	↓

∴當時，函數F（x）取得最大值0
∴恒成立；…（10分）
∵，
∴在x∈R時恒成立；
∴當a=e時，，．
點評：本題主要考查了導數在函數的單調性、函數的極值、函數的最值判斷與求解中的應用，及構造函數利用函數的最值證明不等式，試題有一定的難度．