Question

13．某公司為評估兩套促銷活動方案（方案1運作費用為5元/件；方案2的運作費用為2元/件），在某地區(qū)部分營銷網(wǎng)點進行試點（每個試點網(wǎng)點只采用一種促銷活動方案），運作一年后，對比該地區(qū)上一年度的銷售情況，制作相應的等高條形圖如圖所示．
（1）請根據(jù)等高條形圖提供的信息，為該公司今年選擇一套較為有利的促銷活動方案（不必說明理由）；
（2）已知該公司產(chǎn)品的成本為10元/件（未包括促銷活動運作費用），為制定本年度該地區(qū)的產(chǎn)品銷售價格，統(tǒng)計上一年度的8組售價x_i（單位：元/件，整數(shù)）和銷量y_i（單位：件）（i=1，2，…，8）如下表所示：

售價x	33	35	37	39	41	43	45	47
銷量y	840	800	740	695	640	580	525	460

①請根據(jù)下列數(shù)據(jù)計算相應的相關指數(shù)R²，并根據(jù)計算結果，選擇合適的回歸模型進行擬合；
②根據(jù)所選回歸模型，分析售價x定為多少時？利潤z可以達到最大．

	$\hat y=-1200lnx+5000$	$\hat y=-27x+1700$	$\hat y=-\frac{1}{3}{x^2}+1200$
${\sum_{i=1}^8{（{{y_i}-{{\hat y}_i}}）}^2}$	49428.74	11512.43	175.26
${\sum_{i=1}^8{（{{y_i}-\overline y}）}^2}$	124650

（附：相關指數(shù)${R^2}=1-\frac{{{{\sum_{i=1}^n{（{{y_i}-{{\hat y}_i}}）}}^2}}}{{{{\sum_{i=1}^n{（{{y_i}-\overline y}）}}^2}}}$）

Answer 1

分析 （1）由等高條形圖可知，年度平均銷售額與方案1的運作相關性強于方案2．
（2）①求出相關指數(shù)，比較可得結論；
②由（1）可知，采用方案1的運作效果較方案2好，故年利潤$z=（{-\frac{1}{3}{x^2}+1200}）（{x-15}）$，利用導數(shù)的方法，可得結論．

解答 解：（1）由等高條形圖可知，年度平均銷售額與方案1的運作相關性強于方案2．
（2）①由已知數(shù)據(jù)可知，回歸模型$\hat y=-1200lnx+5000$對應的相關指數(shù)$R_1^2=0.6035$；
回歸模型$\hat y=-27x+1700$對應的相關指數(shù)$R_2^2=0.9076$；
回歸模型$\hat y=-\frac{1}{3}{x^2}+1200$對應的相關指數(shù)$R_3^2=0.9986$．
因為$R_3^2＞R_2^2＞R_1^2$，所以采用回歸模型$\hat y=-\frac{1}{3}{x^2}+1200$進行擬合最為合適．
②由（1）可知，采用方案1的運作效果較方案2好，
故年利潤$z=（{-\frac{1}{3}{x^2}+1200}）（{x-15}）$，z'=-（x+30）（x-40），
當x∈（0，40）時，$z=（{-\frac{1}{3}{x^2}+1200}）（{x-15}）$單調遞增；
當x∈（40，+∞）時，$z=（{-\frac{1}{3}{x^2}+1200}）（{x-15}）$單調遞減，
故當售價x=40時，利潤達到最大．

點評 本題考查相關指數(shù)，考查等高條形圖，考查導數(shù)知識的運用，屬于中檔題．