Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}+a，x＜1}\\{4（x+a）（x+2a），x≥1}\end{array}\right.$，若f（x）恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-2]∪（-1，-$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 對(duì)a進(jìn)行討論，判斷f（x）在（-∞，1）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，再判斷f（x）在[1，+∞）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答 解：當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞增，f（x）＜2+a，
當(dāng)x≥1時(shí)，令f（x）=0得x=-a或x=-2a．
（1）若2+a≤0即a≤-2時(shí)，f（x）在（-∞，1）上無(wú)零點(diǎn)，
此時(shí)，-2a＞-a≥2，∴f（x）在[1，+∞）上有兩個(gè)零點(diǎn)，符合題意；
（2）若2+a＞0即a＞-2時(shí)，f（x）在（-∞，1）上有1個(gè)零點(diǎn)，
∴f（x）在[1，+∞）上只有1個(gè)零點(diǎn)，
①若-2＜a＜0，則-2a＞-a，∴-a＜1≤-2a，解得-1＜a≤-$\frac{1}{2}$，
②若a=0，則-a=-2a=0∉[1，+∞），∴f（x）在[1，+∞）上無(wú)零點(diǎn)，不符合題意；
③若a＞0，則0＞-a＞-2a，∴f（x）在[1，+∞）上無(wú)零點(diǎn)，不符合題意；
綜上，a的取值范圍是（-∞，-2]∪（-1，-$\frac{1}{2}$]．
故答案為（-∞，-2]∪（-1，-$\frac{1}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的判斷，分類討論思想，屬于中檔題．