Question

14．?dāng)?shù)列{a_n}中，a₁=8，a₄=2，且滿足a_n+2-2a_n+1+a_n=0．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)s_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|，求s_n；
（3）令${b_n}=（3n-9+{a_n}）•{（\frac{10}{11}）^n}$，試問(wèn)數(shù)列{b_n}有沒(méi)有最大項(xiàng)？若有，求出最大項(xiàng)和最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)；若沒(méi)有，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由a_n+2-2a_n+1+a_n=0（ n∈N^*），變形為a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，可知{a_n}為等差數(shù)列，由已知利用通項(xiàng)公式即可得出，
（2）令a_n=10-2n≥0，解得n≤5．令T_n=a₁+a₂+…+a_n=9n-n²．可得當(dāng)n≤5時(shí)，S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a_n=T_n，n≥6時(shí)，S_n=a₁+a₂+…+a₅-a₆-a₇…-a_n=T₅-（T_n-T₅）=2T₅-T_n即可得出，
（3）要想判斷一個(gè)數(shù)列有無(wú)最大項(xiàng)，可以判斷數(shù)列的單調(diào)性，如果數(shù)列的前n項(xiàng)是遞增的，從n+1項(xiàng)開(kāi)始是遞減的，則b_n（b_n+1）即為數(shù)列的最大項(xiàng)，故我們可以判斷構(gòu)造b_n+1-b_n的表達(dá)式，然后進(jìn)行分類討論，給出最終的結(jié)論．

解答 解：（1）∵a_n+2-2a_n+1+a_n=0（ n∈N^*）
∴a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，
∴{a_n}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，
由a₁=8，a₄=2可得2=8+3d，解得d=-2，
∴a_n=8-2（n-1）=10-2n．
（2）令a_n=10-2n≥0，解得n≤5．
令T_n=a₁+a₂+…+a_n=$\frac{1}{2}$n（8+10-2n）=9n-n²．
∴當(dāng)n≤5時(shí)，S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a_n=T_n=9n-n²，
n≥6時(shí)，S_n=a₁+a₂+…+a₅-a₆-a₇…-a_n=T₅-（T_n-T₅）=2T₅-T_n=n²-9n+40．
故S_n=$\left\{\begin{array}{l}{9n-{n}^{2}，n≤5}\\{{n}^{2}-9n+40，n≥6}\end{array}\right.$，
（3）：${b_n}=（3n-9+{a_n}）•{（\frac{10}{11}）^n}$=（n+1）•（$\frac{10}{11}$）ⁿ，
∵b_n+1-b_n=（n+2）（$\frac{10}{11}$）ⁿ⁺¹-（n+1）（$\frac{10}{11}$）ⁿ
=$\frac{9-n}{11}$•（$\frac{10}{11}$）ⁿ，
∴當(dāng)n＜9時(shí)，b_n+1-b_n＞0，即b_n+1＞b_n；
當(dāng)n=9時(shí)，b_n+1-b_n=0，即b_n+1=b_n；
當(dāng)n＞9時(shí)，b_n+1-b_n＜0，即b_n+1＜b_n；
故b₁＜b₂＜b₃＜…＜b₉=b₁₀＞b₁₁＞b₁₂＞…．
∴數(shù)列{b_n}有最大項(xiàng)b₉或b₁₀，
其值為10•（$\frac{10}{11}$）⁹，其項(xiàng)數(shù)為9或10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、含有絕對(duì)值的數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法、分類討論等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于中檔題．