Question

14．數(shù)列{a_n}中，a₁=8，a₄=2，且滿足a_n+2-2a_n+1+a_n=0．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設s_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|，求s_n；
（3）令${b_n}=（3n-9+{a_n}）•{（\frac{10}{11}）^n}$，試問數(shù)列{b_n}有沒有最大項？若有，求出最大項和最大項的項數(shù)；若沒有，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由a_n+2-2a_n+1+a_n=0（ n∈N^*），變形為a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，可知{a_n}為等差數(shù)列，由已知利用通項公式即可得出，
（2）令a_n=10-2n≥0，解得n≤5．令T_n=a₁+a₂+…+a_n=9n-n²．可得當n≤5時，S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a_n=T_n，n≥6時，S_n=a₁+a₂+…+a₅-a₆-a₇…-a_n=T₅-（T_n-T₅）=2T₅-T_n即可得出，
（3）要想判斷一個數(shù)列有無最大項，可以判斷數(shù)列的單調(diào)性，如果數(shù)列的前n項是遞增的，從n+1項開始是遞減的，則b_n（b_n+1）即為數(shù)列的最大項，故我們可以判斷構(gòu)造b_n+1-b_n的表達式，然后進行分類討論，給出最終的結(jié)論．

解答 解：（1）∵a_n+2-2a_n+1+a_n=0（ n∈N^*）
∴a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，
∴{a_n}為等差數(shù)列，設公差為d，
由a₁=8，a₄=2可得2=8+3d，解得d=-2，
∴a_n=8-2（n-1）=10-2n．
（2）令a_n=10-2n≥0，解得n≤5．
令T_n=a₁+a₂+…+a_n=$\frac{1}{2}$n（8+10-2n）=9n-n²．
∴當n≤5時，S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a_n=T_n=9n-n²，
n≥6時，S_n=a₁+a₂+…+a₅-a₆-a₇…-a_n=T₅-（T_n-T₅）=2T₅-T_n=n²-9n+40．
故S_n=$\left\{\begin{array}{l}{9n-{n}^{2}，n≤5}\\{{n}^{2}-9n+40，n≥6}\end{array}\right.$，
（3）：${b_n}=（3n-9+{a_n}）•{（\frac{10}{11}）^n}$=（n+1）•（$\frac{10}{11}$）ⁿ，
∵b_n+1-b_n=（n+2）（$\frac{10}{11}$）ⁿ⁺¹-（n+1）（$\frac{10}{11}$）ⁿ
=$\frac{9-n}{11}$•（$\frac{10}{11}$）ⁿ，
∴當n＜9時，b_n+1-b_n＞0，即b_n+1＞b_n；
當n=9時，b_n+1-b_n=0，即b_n+1=b_n；
當n＞9時，b_n+1-b_n＜0，即b_n+1＜b_n；
故b₁＜b₂＜b₃＜…＜b₉=b₁₀＞b₁₁＞b₁₂＞…．
∴數(shù)列{b_n}有最大項b₉或b₁₀，
其值為10•（$\frac{10}{11}$）⁹，其項數(shù)為9或10．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、含有絕對值的數(shù)列的前n項和的求法、分類討論等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．