Question

12．設(shè)定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足x²f′（x）+2xf（x）=1+lnx，f（1）=0，若關(guān)于x的方程f（x）=a有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，$\frac{1}{e}$）．

Answer 1

分析 由已知可得f（x）=$\frac{lnx}{x}$，分析出f（x）=$\frac{lnx}{x}$的圖象和性質(zhì)，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：令g（x）=x²f（x），
則g′（x）=x²f′（x）+2xf（x）=1+lnx，
∴g（x）=x•lnx+c，
∴f（x）=$\frac{x•lnx+c}{{x}^{2}}$，
∵f（1）=c=0，
∴f（x）=$\frac{x•lnx}{{x}^{2}}$=$\frac{lnx}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，
故當(dāng)x=e時(shí)，f（x）取最大值$\frac{1}{e}$，
又由$\lim_{x→0}f（x）=-∞$，$\lim_{x→+∞}f（x）=0$，
故若關(guān)于x的方程f（x）=a有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a∈（0，$\frac{1}{e}$），
故答案為：（0，$\frac{1}{e}$）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根的存在性及極的個(gè)數(shù)判斷，導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性和最值，難度中檔．