Question

3．已知橢圓$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{1}{2}$，直線$y=x+\sqrt{6}$與以原點為圓心，以橢圓E的短半軸長為半徑的圓相切．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若斜率為k（k≠0）的直線l與橢圓E相交于A，B兩點（A，B不是左右頂點），且以AB為直徑的圓過橢圓E的右頂點，求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓離心率為$\frac{1}{2}$，直線$y=x+\sqrt{6}$與以原點為圓心，以橢圓E的短半軸長為半徑的圓相切，列出方程求出a，b，由此能求出橢圓E的方程．
（Ⅱ）令l：y=kx+m（k≠0），聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\end{array}}\right.$，得（3+4k²）x²+8kmx+4（m²-3）=0，由此利用韋達定理、根的判別式，向量數(shù)量積、圓的性質(zhì)，結(jié)合已知條件能證明直線l過定點，并求出該定點的坐標．

解答 解：（Ⅰ）∵$e=\frac{1}{2}$，∴$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$．
∵直線$y=x+\sqrt{6}$與以原點為圓心，以橢圓E的短半軸長為半徑的圓相切，
∴$r=\frac{{|{\sqrt{6}}|}}{{\sqrt{1+1}}}=b$，解得$b=\sqrt{3}$，a=2．
∴橢圓E的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．…（4分）
證明：（Ⅱ）令l：y=kx+m（k≠0）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），取立$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\end{array}}\right.$，
聯(lián)立消y得（3+4k²）x²+8kmx+4（m²-3）=0
∴$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}+{x_2}=-\frac{8km}{{3+4{k^2}}}}\\{{x_1}{x_2}=\frac{{4（{m^2}-3）}}{{3+4{k^2}}}}\end{array}}\right.$，…（6分）
且△=64k²m²-16（3+4k²）（m²-3）＞0，
整理得：4k²＞m²-3，
∵以AB為直徑的圓過右頂點N（2，0）
∴$\overrightarrow{NA}•\overrightarrow{NB}=（{x_1}-2）（{x_2}-2）+{y_1}{y_2}=7{m^2}+4{k^2}+16km=0$，
化簡得$7{（\frac{m}{k}）^2}+16\frac{m}{k}+4=0$，
∴$\frac{m}{k}=-\frac{2}{7}$，或$\frac{m}{k}=-2$，…（10分）
∵當$\frac{m}{k}=-2$時．l：y=k（x-2）過定點N（2，0）不合題意
∴$\frac{m}{k}=-\frac{2}{7}$，故$l：y=k（x-\frac{2}{7}）$過定點$N（\frac{2}{7}，0）$．…（12分）

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查直線過定點的證明，考查圓、橢圓、韋達定理、根的判別式，向量數(shù)量積等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，考查創(chuàng)新意識、應(yīng)用意識，是中檔題．