Question

已知函數(shù)f（x）=ln（1+x²）+ax²（a≤1）．
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）證明：ln（n+1）＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜2ln（n+1）（n∈N^*）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，即可證明：ln（n+1）＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜2ln（n+1）（n∈N^*）成立．

解答： 解：（Ⅰ）令t=x²，g（t）=ln（1+t）+at（t≥0，a＜1），
∵g′(t)=

1

1+t

+a①當(dāng)0≤a≤1時(shí)，對任意t∈[0，+∞）都有g(shù)′（t）＞0⇒g（t）是[0，+∞）上的增函數(shù)，
由于當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，t=x²是增函數(shù)，當(dāng)x∈（-∞，0]時(shí)，t=x²是減函數(shù)，
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，f（x）=ln（1+x²）+ax²在（-∞，0]單調(diào)遞減，在[0，+∞）單調(diào)遞增；
②當(dāng)a≤-1，對任意t∈（0，+∞）都有g(shù)′（t）＜0⇒g（t）是[0，+∞）上的減函數(shù)，
從而f（x）=ln（1+x²）+ax²在（-∞，0]單調(diào)遞增，在[0，+∞）單調(diào)遞減；
③當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，則g′(t)=

1

1+t

+a＞0?0≤t＜-

a+1

a

，g′(t)=

1

1+t

+a≤0?t≥-

a+1

a

，
則g（t）=ln（1+t）+at在[0，-

a+1

a

]遞增，在[-

a+1

a

，+∞)遞減
從而f（x）=ln（1+x²）+ax²在區(qū)間(-∞，-

- a+1 a

]和[0，

- a+1 a

]單調(diào)遞增，
在區(qū)間[

- a+1 a

，+∞)和[-

- a+1 a

，0]單調(diào)遞減； 
綜上所述，①當(dāng)a≤-1時(shí)，f（x）在（-∞，0]單調(diào)遞增，在[0，+∞）單調(diào)遞減；
②當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，從而f（x）在區(qū)間(-∞，-

- a+1 a

]和[0，

- a+1 a

]單調(diào)遞增，
在區(qū)間[

- a+1 a

，+∞)和[-

- a+1 a

，0]單調(diào)遞減；
③當(dāng)0≤a＜1時(shí)，f（x）在（-∞，0]單調(diào)遞減，在[0，+∞）單調(diào)遞增；
（Ⅱ） 證明：①當(dāng)a=-1時(shí)，由（Ⅰ）知，g（x）=ln（1+x）-x在[0，+∞）單調(diào)遞減，
令x=

1

n

，有g(

1

n

)＜g(0)，即ln(1+

1

n

)-

1

n

＜0?

1

n

＞ln(n+1)-lnn（n∈N^*）累加得1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln(n+1)，
②當(dāng)a=-

1

2

時(shí)，由（Ⅰ）知，g(x)=ln(1+x)-

1

2

x在[0，1]單調(diào)遞增，
令x=

1

n

，有g(

1

n

)＞g(0)，即ln(1+

1

n

)-

1

2n

＞0?

1

2n

＜ln(n+1)-lnn（n∈N^*）累加得1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜2ln(n+1)，
從而ln(n+1)＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜2ln(n+1)對任意n∈N^*都成立．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷以及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，綜合考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，運(yùn)算量較大，綜合性較強(qiáng)．