Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²-（a²+a）lnx-x．
（1）若a=1，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）通過求導(dǎo)數(shù)，確定切線的斜率，利用直線方程的點(diǎn)斜式即得解；
（2）求導(dǎo)數(shù)，求極值點(diǎn)，得x=-a或x=a+1，分以下情況討論：①a≤-1；②-1＜a＜-

1

2

；③a=-

1

2

；④-

1

2

＜a＜0；⑤a≥0等，明確函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

解答： 解：（1）a=1時(shí)，f（x）=

1

2

x2-2lnx-x，f′（x）=x-

2

x

-1，f（1）=-

1

2

，f′（1）=-2，
∴所求切線方程為y+

1

2

=-2（x-1），即4x+2y-3=0．
（2）f′（x）=x-

a2+a

x

-1=

x2-x-(a2+a)

x

=

(x+a)(x-a-1)

x

，
令f′（x）=0，得x=-a或x=a+1．
①當(dāng)a≤-1時(shí)，a+1≤0，-a＞0，∴f（x）在（0，-a）上單調(diào)遞減，在（-a，+∞）上單調(diào)遞增；
②當(dāng)-1＜a＜-

1

2

時(shí)，0＜a+1＜-a，∴f（x）在（0，a+1）和（-a，+∞）上單調(diào)遞增，在（a+1，-a）上單調(diào)遞減；
③當(dāng)a=-

1

2

時(shí)，a+1=-a，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
④當(dāng)-

1

2

＜a＜0時(shí)，0＜-a＜a+1，∴f（x）在（0，-a）和（a+1，+∞）上單調(diào)遞增，在（-a，a+1）上單調(diào)遞減；
⑤當(dāng)a≥0時(shí)，-a≤0，a+1＞0，∴f（x）在（0，a+1）上單調(diào)遞減，在（a+1，+∞）上單調(diào)遞增；
綜上，當(dāng)a≤-1時(shí)，f（x）在（0，-a）上單調(diào)遞減，在（-a，+∞）上單調(diào)遞增；當(dāng)-1＜a＜-

1

2

時(shí)，f（x）在（0，a+1）和（-a，+∞）上單調(diào)遞增，在（a+1，-a）上單調(diào)遞減；當(dāng)a=-

1

2

時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；當(dāng)-

1

2

＜a＜0時(shí)，f（x）在（0，-a）和（a+1，+∞）上單調(diào)遞增，在（-a，a+1）上單調(diào)遞減；當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）在（0，a+1）上單調(diào)遞減，在（a+1，+∞）上單調(diào)遞增．在（a+1，+∞）單調(diào)遞增．

點(diǎn)評：該題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論思想，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識分析解決問題的能力．