長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=6，AA1=4，M是A1C1的中點，P在線段BC上，且CP=2，Q是DD1的中點，求：
（1）M到直線PQ的距離；
（2）M到平面AB1P的距離．
分析：（1）建立坐標(biāo)系，求出
QM
在
QP
上的射影，即可求M到直線PQ的距離；
（2）求出平面AB1P的法向量，利用d=
|
MA
•
n
|
|
n
|
，即可求M到平面AB1P的距離．
解答：解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz，則A（4，0，0），M（2，3，4），P（0，4，0），Q（4，6，2）．
（1）∵
QM
=（-2，-3，2），
QP
=（-4，-2，-2），
∴
QM
在
QP
上的射影為
QM
•
QP
|
QP
|
=
(-2)×(-4)+(-3)×(-2)+2×(-2)
(-4)2+(-2)2+(-2)2
=
5
6
6
，
故M到PQ的距離為
QM
2-(
5
6
6
)2
=
462
6
．
（2）設(shè)
n
=（x，y，z）是平面AB1P的法向量，則
n
⊥
AB1
，
n
⊥
AP
，
∵
AB1
=（-4，0，4），
AP
=（-4，4，0），
∴
-4x+4z=0
-4x+4y=0
．
因此可取
n
=（1，1，1），由于
MA
=（2，-3，-4），
那么點M到平面AB1P的距離為d=
|
MA
•
n
|
|
n
|
=
|2×1+(-3)×1+(-4)×1|
3
=
5
3
3
，
故M到平面AB1P的距離為
5
3
3
．
點評：本題考查點線距離，點面距離，考查向量知識的運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，過A1、C1、B三點的平面截去長方體的一個角后，得到如圖所示的幾何體ABCD-A1C1D1，且這個幾何體的體積為10．
（1）求棱A1A的長；
（2）求點D到平面A1BC1的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=A1A=a，BC=
2
a，M是AD中點，N是B1C1中點．
（1）求證：A1、M、C、N四點共面；
（2）求證：BD1⊥MCNA1；
（3）求證：平面A1MNC⊥平面A1BD1；
（4）求A1B與平面A1MCN所成的角．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，BC=4，AA1=5 則三棱錐A1-ABC的體積為（　　）
A、10B、20C、30D、35

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知多面體ABCD-A1B1C1D1，它是由一個長方體ABCD-A'B'C'D'切割而成，這個長方體的高為b，底面是邊長為a的正方形，其中頂點A1，B1，C1，D1均為原長方體上底面A'B'C'D'各邊的中點．
（1）若多面體面對角線AC，BD交于點O，E為線段AA1的中點，求證：OE∥平面A1C1C；
（2）若a=4，b=2，求該多面體的體積；
（3）當(dāng)a，b滿足什么條件時AD1⊥DB1，并證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E是側(cè)棱BB1的中點．
（1）求證：A1E⊥平面ADE；
（2）求三棱錐A1-ADE的體積．

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