Question

16．新疆某中學(xué)共有教師32人，其中男教師12人，女教師20人，這32名教師的身高如下面的莖葉圖所示（單位：cm）．為“打擊疆獨分子，確保學(xué)校師生安全”，校委會決定：身高在175cm以上（含175cm）的男教師和身高在172cm以上（含172cm）的女教師組成“校外巡邏隊”，其余教師組成“校內(nèi)巡邏隊”．
（1）若用分層抽樣的方法從“校外巡邏隊員”和“校內(nèi)巡邏隊員”中抽取中選8人，然后在從這8人中選3人，求至少有1人是“校外巡邏隊員”的概率；
（2）若從所有“校外巡邏隊員”中選2人作為“校外巡邏隊”隊長，用X表示“校外巡邏隊”隊長為女教師的人數(shù)，試寫出X的分布列，并求X的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）由莖葉圖得“校外巡邏隊員”有12人，“校內(nèi)巡邏隊員”有20人，用分層抽樣在“校外巡邏隊員”選3人，“校內(nèi)巡邏隊員”中選5人，由此能求出從這8人中選3人，至少有1人是“校外巡邏隊員”的概率．
（2）由題意X的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（1）由莖葉圖得身高在175cm以上（含175cm）的男教師有8人，身高在172cm以上（含172cm）的女教師有4人，
∴“校外巡邏隊員”有12人，“校內(nèi)巡邏隊員”有20人，
用分層抽樣的方法從“校外巡邏隊員”和“校內(nèi)巡邏隊員”中抽取中選8人，
則“校外巡邏隊員”選：$\frac{8}{32}×12$=3人，“校內(nèi)巡邏隊員”選：$\frac{8}{32}×20$=5人，
從這8人中選3人，至少有1人是“校外巡邏隊員”的概率：
p=1-$\frac{{C}_{5}^{3}}{{C}_{8}^{3}}$=1-$\frac{10}{56}$=$\frac{23}{28}$．
（2）由題意X的可能取值為0，1，2，
P（X=0）=$\frac{{C}_{8}^{2}}{{C}_{12}^{2}}$=$\frac{28}{66}$=$\frac{14}{33}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{8}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{12}^{2}}$=$\frac{32}{66}$=$\frac{16}{33}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{12}^{2}}$=$\frac{6}{66}$=$\frac{1}{11}$，
∵X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{14}{33}$	$\frac{16}{33}$	$\frac{1}{11}$

EX=$0×\frac{14}{33}+1×\frac{16}{33}+2×\frac{1}{11}$=$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意排列組合知識的合理運用．