Question

13．橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，右焦點(diǎn)為F，過F作直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)．
（1）已知$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-1（O為原點(diǎn)），求直線l的方程．
（2）求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的取值范圍，且寫出$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$取最大值和最小值時(shí)直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）求得橢圓的右焦點(diǎn)，設(shè)直線AB的方程為x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，以及向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，解方程即可得到所求直線的方程；
（2）由（1）可得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=（1+m²）（-$\frac{1}{2+{m}^{2}}$）+m（-$\frac{2m}{2+{m}^{2}}$）+1=$\frac{1-2{m}^{2}}{2+{m}^{2}}$，運(yùn)用換元法，令2+m²=t（t≥2），可得m²=t-2，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性可得最值，注意討論直線的斜率為0，即可得到所求范圍；進(jìn)而得到所求直線的方程．

解答 解：（1）橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，右焦點(diǎn)為F（1，0），
設(shè)直線AB的方程為x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立直線和橢圓方程，可得（2+m²）y²+2my-1=0，
即有y₁+y₂=-$\frac{2m}{2+{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{1}{2+{m}^{2}}$，
x₁x₂=（my₁+1）（my₂+1）=m²y₁y₂+m（y₁+y₂）+1，
即有$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=（1+m²）y₁y₂+m（y₁+y₂）+1
=（1+m²）（-$\frac{1}{2+{m}^{2}}$）+m（-$\frac{2m}{2+{m}^{2}}$）+1=-1，
解得m=±$\sqrt{3}$，
即有直線l的方程為x=±$\sqrt{3}$y+1；
（2）由（1）可得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=（1+m²）（-$\frac{1}{2+{m}^{2}}$）+m（-$\frac{2m}{2+{m}^{2}}$）+1
=$\frac{1-2{m}^{2}}{2+{m}^{2}}$，
由2+m²=t（t≥2），可得m²=t-2，
即有$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\frac{5-2t}{t}$=$\frac{5}{t}$-2，
由t≥2，可得0＜$\frac{1}{t}$≤$\frac{1}{2}$，
即有$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$∈（-2，$\frac{1}{2}$]，
又當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，A（-$\sqrt{2}$，0），B（$\sqrt{2}$，0），
可得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-2，
綜上可得，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的范圍是[-2，$\frac{1}{2}$]；
則當(dāng)直線的斜率為0，即$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$取得最小值-2時(shí)，
即有直線方程為y=0；
當(dāng)直線的斜率不存在，即$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$取得最大值$\frac{1}{2}$時(shí)，
即有直線方程為x=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的運(yùn)用，注意聯(lián)立直線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，同時(shí)考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，以及函數(shù)的最值的求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．