Question

2．已知點(diǎn)A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））是函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）$（ω＞0，-\frac{π}{2}＜φ＜0）$圖象上的任意兩點(diǎn)，且角φ的終邊經(jīng)過點(diǎn)$P（1，-\sqrt{3}）$，若|f（x₁）-f（x₂）|=4時(shí)，|x₁-x₂|的最小值為$\frac{π}{3}$．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）求當(dāng)$x∈[{0，\frac{π}{3}}]$時(shí)，f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由已知求得$tanφ=-\sqrt{3}$，結(jié)合φ的范圍求得φ，再由已知求得ω得答案；
（2）直接由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的增區(qū)間；
（3）由x的范圍求得相位的范圍，進(jìn)一步求得sin（$3x-\frac{π}{3}$）的范圍得答案．

解答 解：（1）角φ的終邊經(jīng)過點(diǎn)$P（1，-\sqrt{3}）$，∴$tanφ=-\sqrt{3}$，
∵$-\frac{π}{2}＜φ＜0$，∴$φ=-\frac{π}{3}$．
由|f（x₁）-f（x₂）|=4時(shí)，|x₁-x₂|的最小值為$\frac{π}{3}$，得$T=\frac{2π}{3}$，即$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{3}$，∴ω=3．
∴$f（x）=2sin（3x-\frac{π}{3}）$；
（2）由$-\frac{π}{2}+2kπ≤3x-\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ$，得$-\frac{π}{18}+\frac{2kπ}{3}≤x≤\frac{5π}{18}+\frac{2kπ}{3}$，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$[{-\frac{π}{18}+\frac{2kπ}{3}，}\right.\left.{\frac{5π}{18}+\frac{2kπ}{3}}]$（k∈Z）；
（3 ） 當(dāng)$x∈[{0，\frac{π}{3}}]$時(shí)，即0≤x≤$\frac{π}{3}$，則0≤3x≤π，
∴$-\frac{π}{3}≤3x-\frac{π}{3}≤\frac{2π}{3}$，
由函數(shù)單調(diào)性可得：$-\frac{\sqrt{3}}{2}≤sin（3x-\frac{π}{3}）≤1$，
∴$-\sqrt{3}≤f（x）≤2$，
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)?[-\sqrt{3}，2]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角恒等變換中的應(yīng)用，考查了y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是中檔題．