Question

8．在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，滿足∠A=$\frac{2π}{3}$，∠BAD+∠C=90°，則∠B=$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 設(shè)∠BAD=α，∠CAD=β，由∠BAD+∠C=90°，可得α=90°-∠C，β=90°-∠B，由D為BC的中點(diǎn)，可得S_△ABD=S_△ACD，因此$\frac{1}{2}c•ADsinα=\frac{1}{2}b•ADsinβ$，
化為csinα=bsinβ，可得ccosC=bcosB，利用正弦定理即可得出．

解答 解：設(shè)∠BAD=α，∠CAD=β，∵∠BAD+∠C=90°，∴α=90°-∠C，β=90°-∠B，
∵D為BC的中點(diǎn)，∴S_△ABD=S_△ACD，∴$\frac{1}{2}c•ADsinα=\frac{1}{2}b•ADsinβ$，
∴csinα=bsinβ，∴ccosC=bcosB，由正弦定理得，sinCcosC=sinBcosB，
∴sin2C=sin2B，∴2∠B=2∠C或2B+2C=π，∴∠B=∠C或$∠B+∠C=\frac{π}{2}$（舍去），
∴∠B=∠C=$\frac{π}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形面積計(jì)算公式、正弦定理、三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．