Question

14．在平面直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知在極坐標系中，A（3$\sqrt{3}$，$\frac{π}{2}$），B（3，$\frac{π}{3}$），圓C的方程為ρ=2cosθ．
（1）求在平面直角坐標系xOy中圓C的標準方程；
（2）已知P為圓C上的任意一點，求△ABP面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，可得圓的直角坐標方程；
（2）求得A，B的直角坐標，即可得到直線AB的方程；求得AB的距離和圓C和半徑，求得圓C到直線AB的距離，由圓C上的點到直線AB的最大距離為d+r，運用三角形的面積公式，即可得到所求最大值．

解答 解：（1）由ρ=2cosθ，可得：ρ²=2ρcosθ，所以x²+y²=2x
故在平面直角坐標系中圓的標準方程為：（x-1）²+y²=1   …（5分）
（2）在直角坐標系中A（0，3$\sqrt{3}$），B（$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）
所以|AB|=$\sqrt{（\frac{3}{2}-0）^{2}+（\frac{3\sqrt{3}}{2}-3\sqrt{3}）^{2}}$=3，直線AB的方程為：$\sqrt{3}$x+y=3$\sqrt{3}$
所以圓心到直線AB的距離d=$\frac{|\sqrt{3}-3\sqrt{3}|}{\sqrt{3+1}}$=$\sqrt{3}$，又圓C的半徑為1，
所以圓C上的點到直線AB的最大距離為$\sqrt{3}$+1
故△ABP面積的最大值為S=$\frac{1}{2}×（\sqrt{3}+1）×3$=$\frac{3\sqrt{3}+3}{2}$       …（10分）

點評 本題考查極坐標方程和直角坐標方程的互化，直線和圓方程的運用，注意運用圓上的點到直線的距離的最值，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等．