Question

10．已知函數(shù)f（x）=x²+ax-lnx．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（x）+2lnx，F(xiàn)（x）=3g（x）-2xg′（x），若函數(shù)F（x）在定義域內(nèi)有兩個零點x₁，x₂，且x₁＜x₂，求證：$F'（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）$＜0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可求出，
（Ⅱ）求導(dǎo)，根據(jù)中點坐標公式得到$F'（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）$=-（x₁+x₂）+a+$\frac{6}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，①，分別把兩個零點x₁，x₂，代入到F（x）中，轉(zhuǎn)化，分離參數(shù)得到a-（x₁+x₂）=$\frac{3ln\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，再代入得到$F'（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）$=$\frac{3}{{x}_{2}-{x}_{1}}$[ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{2（1-\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}）}{1+\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}}$]，換元，構(gòu)造函數(shù)得到h（t）=lnt+$\frac{2（1-t）}{1+t}$，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出h（t）的最大值，即可證明．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為（0，+∞），
∴f′（x）=2x+a-$\frac{1}{x}$=$\frac{2{x}^{2}+ax-1}{x}$，
令f′（x）＞0，得x＞$\frac{\sqrt{{a}^{2}+8}+a}{4}$，
f′（x）＜0，得0＜x＜$\frac{\sqrt{{a}^{2}+8}-a}{4}$，
∴函數(shù)f（x）在（$\frac{\sqrt{{a}^{2}+8}+a}{4}$，+∞）為增函數(shù)，在（0，$\frac{\sqrt{{a}^{2}+8}-a}{4}$）為減函數(shù)，
（Ⅱ）由已知g（x）=f（x）+2lnx，
∴F（x）=3g（x）-2xg′（x）=-x²+ax+3lnx-2，
∴F′（x）=-2x+a+$\frac{3}{x}$，
即：$F'（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）$=-（x₁+x₂）+a+$\frac{6}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，①
∵函數(shù)F（x）在定義域內(nèi)有兩個零點x₁，x₂，
∴-x₁²+ax₁+3lnx₁-2=0，②
-x₂²+ax₂+3lnx₂-2=0，③
②-③得-（x₁²-x₂²）+a（x₁-x₂）+3（lnx₁-lnx₂）=0
可得（x₁-x₂）[a-（x₁+x₂）]+3ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=0，
∴a-（x₁+x₂）=$\frac{3ln\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，
代入①得：$F'（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）$=$\frac{3ln\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$+$\frac{6}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$\frac{3}{{x}_{2}-{x}_{1}}$[ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{2}+{x}_{1}}$]=$\frac{3}{{x}_{2}-{x}_{1}}$[ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{2（1-\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}）}{1+\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}}$]，
令$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=t，則0＜t＜1，
∴h（t）=lnt+$\frac{2（1-t）}{1+t}$，
∴h′（t）=$\frac{1}{t}$+$\frac{-2（1+t）-2（1-t）}{（1+t）^{2}}$=$\frac{1}{t}$-$\frac{4}{（1+t）^{2}}$=$\frac{（1-t）^{2}}{t（1+t）^{2}}$≥0
∴h（t）在（0，1）上為增函數(shù)，
∴h（t）＜h（1）=0，
∵x₁＜x₂，
∴$F'（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）$＜0．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查推理論證能力與運算能力屬難題．