Question

20．如圖所示，某鎮(zhèn)有一塊空地△OAB，其中OA=3km，OB=3$\sqrt{3}$km，∠AOB=90°．當地鎮(zhèn)政府規(guī)劃將這塊空地改造成一個旅游景點，擬在中間挖一個人工湖△OMN，其中M，N都在邊AB上，且∠MON=30°，挖出的泥土堆放在△OAM地帶上形成假山，剩下的△OBN地帶開設兒童游樂場．為安全起見，需在△OAN的一周安裝防護網．
（1）當AM=$\frac{3}{2}$km時，求防護網的總長度；
（2）為節(jié)省投入資金，人工湖△OMN的面積要盡可能小，問如何設計施工方案，可使△OMN的面積最��？最小面積是多少？

Answer 1

分析 （1）證明△OAN為正三角形，可得△OAN的周長為9，即防護網的總長度為9km；
（2）設∠AOM=θ，在△AOM和△AON中使用正弦定理求出OM，ON，得出△OMN 的面積關于θ的函數，利用三角函數恒等變換化簡，得出面積的最小值．

解答 解：（1）∵OA=3km，OB=3$\sqrt{3}$km，∠AOB=90°，∴A=60°，AB=6．
在△OAM中，由余弦定理得：OM²=OA²+AM²-2OA•AM•cosA=$\frac{27}{4}$．
∴OM=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
由正弦定理得：$\frac{AM}{sin∠AOM}=\frac{OM}{sinA}$，即$\frac{\frac{3}{2}}{sin∠AOM}=\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，
∴sin∠AOM=$\frac{1}{2}$．∴A=30°．
∴∠AON=∠AOM+∠MON=60°．
∴△OAN是等邊三角形．
∴△OAN的周長C=3OA=9．
∴防護網的總長度為9km．
（2）設∠AOM=θ（0°＜θ＜60°），則∠AON=θ+30°，∠OMA=120°-θ，∠ONA=90°-θ．
在△OAM中，由正弦定理得$\frac{OM}{sinA}=\frac{OA}{sin∠OMA}$，即$\frac{OM}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{3}{sin（120°-θ）}$=$\frac{3}{sin（60°+θ）}$．
∴OM=$\frac{3\sqrt{3}}{2sin（60°+θ）}$，
在△AON中，由正弦定理得$\frac{ON}{sinA}=\frac{OA}{sin∠ONA}$，即$\frac{ON}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{3}{sin（90°-θ）}$=$\frac{3}{cosθ}$，
∴ON=$\frac{3\sqrt{3}}{2cosθ}$，
∴S_△OMN=$\frac{1}{2}OM•ON•sin∠MON$=$\frac{27}{16cosθsin（θ+60°）}$=$\frac{27}{8sin（2θ+60°）+4\sqrt{3}}$．
∴當且僅當2θ+60°=90°，即θ=15°時，△OMN的面積取最小值為$\frac{27}{8+4\sqrt{3}}$=$\frac{27（2-\sqrt{3}）}{4}$km²．

點評 本題考查利用數學知識解決三角形問題，考查余弦定理、正弦定理的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．