Question

13．如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=3，AD=$\sqrt{2}$，E為BC中點(diǎn)，若$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=3，則$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BC}$=-3．

Answer 1

分析 以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD所在直線為x，y軸，建立直角坐標(biāo)系，由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可得到所求值．

解答 解：以A點(diǎn)為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，AD為y軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，
∵AB=3，AD=$\sqrt{2}$，E為BC中點(diǎn)，
∴A（0，0），B（3，0），D（0，$\sqrt{2}$），
設(shè)C（x，$\sqrt{2}$），
∴$\overrightarrow{AB}$=（3，0），$\overrightarrow{AC}$=（x，$\sqrt{2}$），
∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=3，
∴3x=3，
解得x=1，
∴C（1，$\sqrt{2}$），
∵E為BC中點(diǎn)，
∴E（$\frac{3+1}{2}$，$\frac{0+\sqrt{2}}{2}$），即為（2，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴$\overrightarrow{AE}$=（2，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{BC}$=（-2，$\sqrt{2}$），
∴$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BC}$=2×（-2）+$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\sqrt{2}$=-4+1=-3
故答案為：-3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，主要考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．