Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=k（x﹣1）ex+x2 ． （Ⅰ）當時k=﹣ ，求函數(shù)f（x）在點（1，1）處的切線方程；
（Ⅱ）若在y軸的左側(cè)，函數(shù)g（x）=x2+（k+2）x的圖象恒在f（x）的導函數(shù)f′（x）圖象的上方，求k的取值范圍；
（Ⅲ）當k≤﹣l時，求函數(shù)f（x）在[k，1]上的最小值m．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）k=﹣ 時，f（x）=﹣ （x﹣1）ex+x2，

∴f′（x）=x（2﹣ex﹣1 ），∴f′（1）=1，f（1）=1，

∴函數(shù)f（x）在（1，1）處的切線方程為y=x，

（Ⅱ）f′（x）=kx（ex+ ）＜x2+（k+2）x，

即：kxex﹣x2﹣kx＜0，

∵x＜0，∴kex﹣x﹣k＞0，

令h（x）=kex﹣x﹣k，

∴h′（x）=kex﹣1，

當k≤0時，h（x）在x＜0時遞減，h（x）＞h（0）=0，符合題意，

當0＜k≤1時，h（x）在x＜0時遞減，h（x）＞h（0）=0，符合題意，

當k＞1時，h（x）在（﹣∞，﹣lnk）遞減，在（﹣lnk，0）遞增，

∴h（﹣lnk）＜h（0）=0，不合題意，

綜上：k≤1．

（Ⅲ）f′（x）=kx（ex+ ），

令f′（x）=0，解得：x1=0，x2=ln（﹣ ），

令g（k）=ln（﹣ ）﹣k，則g′（k）=﹣ ﹣1≤0，

g（k）在k=﹣1時取最小值g（﹣1）=1+ln2＞0，

∴x2=ln（﹣ ）＞k，

當﹣2＜k≤﹣1時，x2=ln（﹣ ）＞0，

f（x）的最小值為m=min{f（0），f（1）}=min{﹣k，1}=1，

當k=﹣2時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[k，1]上遞減，m=f（10=1，

當k＜﹣2時，f（x）的最小值為m=min{f（x2 ），f（1）}，

f（x2 ）=﹣2[ln（﹣ ）﹣1]+[ln（﹣ ）]2= ﹣2x2+2＞1，f（1）=1，

此時m=1，

綜上：m=1．

【解析】（Ⅰ）k=﹣ 時，f（x）=﹣ （x﹣1）ex+x2，得f′（x）=x（2﹣ex﹣1 ），從而求出函數(shù)f（x）在（1，1）處的切線方程；（Ⅱ）f′（x）=kx（ex+ ）＜x2+（k+2）x，即：kxex﹣x2﹣kx＜0，令h（x）=kex﹣x﹣k，討論當k≤0時，當0＜k≤1時，當k＞1時，從而綜合得出k的范圍；（Ⅲ）f′（x）=kx（ex+ ），令f′（x）=0，得：x1=0，x2=ln（﹣ ），令g（k）=ln（﹣ ）﹣k，則g′（k）=﹣ ﹣1≤0，得g（k）在k=﹣1時取最小值g（﹣1）=1+ln2＞0，討論當﹣2＜k≤﹣1時，當k=﹣2時，當k＜﹣2時的情況，從而求出m的值．
【考點精析】通過靈活運用函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)，掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值即可以解答此題．