Question

2．離心率為$\frac{3}{4}$的橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），P∈C，且P到橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)距離之和為8則橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{7}=1$．

Answer 1

分析 由題意可知：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），焦點(diǎn)在x軸上，丨PF₁丨+丨PF₂丨=2a=8，a=4，橢圓的離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{4}$，即c=3，則b²=a²-c²=7，即可求得橢圓C的方程．

解答 解：由題意可知：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），焦點(diǎn)在x軸上，
P到橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)距離之和為8，
由橢圓的性質(zhì)可知：丨PF₁丨+丨PF₂丨=2a=8，
∴a=4，
由橢圓的離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{4}$，即c=3，
則b²=a²-c²=7
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{7}=1$；
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{7}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓的定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．