Question

11．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²-3x-1．
（1）當(dāng)a=-4時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）已知g（x）=-3x+1，若f（x）與g（x）的圖象有三個(gè)不同交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）設(shè)G（x）=f（x）-g（x）=x³+ax²-2，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，判斷函數(shù)G（x）的單調(diào)性，從而求出函數(shù)G（x）的極大值和極小值，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)G（x）有3個(gè)不同的零點(diǎn)，求出a的范圍即可．

解答 解：（1）a=-4時(shí)，f′（x）=（3x+1）（x-3），
由f′（x）≤0，解得：-$\frac{1}{3}$≤x≤3，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是[-$\frac{1}{3}$，3]；
（2）設(shè)G（x）=f（x）-g（x）=x³+ax²-2，
∴G′（x）=x（3x+2a），
由G′（x）=0，解得：x=0或x=-$\frac{2a}{3}$，
①a＞0時(shí)，在（-∞，-$\frac{2a}{3}$）上，G′（x）＞0，
在（-$\frac{2a}{3}$，0）上，G′（x）＜0，在（0，+∞）上，G′（x）＞0，
∴G（x）在（-∞，-$\frac{2a}{3}$），（0，+∞）遞增，在（-$\frac{2a}{3}$，0）遞減，
∴G（x）_極大值=G（-$\frac{2a}{3}$）=$\frac{4}{27}$a³-2，G （x）_極小值=G（0）=-2，
f（x）與g（x）的圖象有三個(gè)不同交點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)G（x）有3個(gè)不同的零點(diǎn)，
∴$\frac{4}{27}$a³-2＞0，解得：a＞$\frac{3}{2}$$\root{3}{4}$；
②a＜0時(shí)，在（-∞，0）上，G′（x）＞0，在（0，-$\frac{2a}{3}$）上，G′（x）＜0，
在（-$\frac{2a}{3}$，+∞）上，G′（x）＞0，
∴G（x）在（-∞，0），（-$\frac{2a}{3}$，+∞）遞增，在（0，-$\frac{2a}{3}$）遞減，
∴G（x）_極大值=G（0）=-2，G（x）_極小值=G（-$\frac{2a}{3}$）=$\frac{4}{27}$a³-2，
由于G（x）_極大值＜0，故G（x）只有1個(gè)零點(diǎn)，不合題意；
③a=0時(shí)，在R上，G′（x）≥0，
∴G（x）在R遞增，
∴G（x）只有1個(gè)零點(diǎn)，不合題意；
綜上，a的范圍是（$\frac{3}{2}$$\root{3}{4}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，考查應(yīng)用意識(shí)和運(yùn)算求解能力以及數(shù)形結(jié)合思想．