Question

9．在直角梯形ABCD中，∠D=∠BAD=90°，AD=DC=1，AB=2（如圖①），將△ADC沿AC折起，使D到D′，構(gòu)成三棱錐D′-ABC，如圖②所示．
（1）若BD′=$\sqrt{3}$，求證：面ACD′⊥面BCD′；
（2）若二面角D′-AC-B為60°，求三棱錐D′-ABC的體積．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出AD′⊥BD′，AD′⊥D′C，從而AD′⊥面BCD′，由此能證明面ACD′⊥面BCD′．
（2）取AC中點(diǎn)O，連結(jié)D′O，取AB中點(diǎn)E，連結(jié)EO，D′E，取OE的中點(diǎn)F，連結(jié)D′F，則D′F⊥平面ABC，由此能求出三棱錐D′-ABC的體積．

解答 解：（1）證明：∵AD'=CD=1，AB=2，BD′=$\sqrt{3}$，
∴AD^'2+BD^'2=AB²，∴AD′⊥BD′，
又AD′⊥D′C，且CD′∩BD′=D′，
∴AD′⊥面BCD′，
∵AD′?面ACD′，∴面ACD′⊥面BCD′．
（2）取AC中點(diǎn)O，連結(jié)D′O，取AB中點(diǎn)E，連結(jié)EO，D′E，
∴∠D′OE=60°，
∵D′O=OE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴△D′OE為等邊三角形，
取OE的中點(diǎn)F，連結(jié)D′F，則D′F⊥OE，D′F⊥AC，
∴D′F⊥平面ABC，
∵D′F=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}$$•\sqrt{2}•\sqrt{2}$=1，
∴三棱錐D′-ABC的體積：
V=$\frac{1}{2}{S}_{△ABC}•{D}^{'}F$=$\frac{1}{3}×1×\frac{\sqrt{6}}{4}=\frac{\sqrt{6}}{12}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．