【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）證明：.

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

(1),分和兩種情況討論單調(diào)性即可；(2)法一：將不等式變形為，構(gòu)造函數(shù)，證明即可；法二：將不等式變形為，分別設，求導證明即可.

(1) ，

當時，，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，無減區(qū)間；

當時，，當，，單增區(qū)間為上增，單調(diào)減區(qū)間為上遞減。

(2)解法1： ，即證，令，，，令，，

在，上單調(diào)遞增，，，故存在唯一的使得，)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，當時， ， 時，； 所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，得證.

解法2：要證： ，即證： ，令，，當時，，時，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， ； 令，，，當 時，，時，； 所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，，得證.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓()的焦距為2，橢圓的左右焦點分別為，過右焦點作軸的垂線交橢圓于兩點，.

（1）求橢圓的方程；

（2）過右焦點作直線交橢圓于兩點，若△的內(nèi)切圓的面積為，求△的面積；

（3）已知，為圓上一點(在軸右側(cè))，過作圓的切線交橢圓于兩點，試問△的周長是否為一定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2018年9月，臺風“山竹”在我國多個省市登陸，造成直接經(jīng)濟損失達52億元.某青年志愿者組織調(diào)查了某地區(qū)的50個農(nóng)戶在該次臺風中造成的直接經(jīng)濟損失，將收集的數(shù)據(jù)分成五組：，，，，（單位：元），得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）試根據(jù)頻率分布直方圖估計該地區(qū)每個農(nóng)戶的平均損失（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；

（2）臺風后該青年志愿者與當?shù)卣蛏鐣l(fā)出倡議，為該地區(qū)的農(nóng)戶捐款幫扶，現(xiàn)從這50戶并且損失超過4000元的農(nóng)戶中隨機抽取2戶進行重點幫扶，設抽出損失超過8000元的農(nóng)戶數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某企業(yè)甲,乙兩個研發(fā)小組,他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為和,現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品,乙組研發(fā)新產(chǎn)品.設甲,乙兩組的研發(fā)是相互獨立的.

(1)求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率;

(2)若新產(chǎn)品研發(fā)成功,預計企業(yè)可獲得萬元,若新產(chǎn)品研發(fā)成功,預計企業(yè)可獲得利潤萬元,求該企業(yè)可獲得利潤的分布列和數(shù)學期望.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設O為坐標原點，動點M在橢圓C：上，該橢圓的左頂點A到直線的距離為．

求橢圓C的標準方程；

若線段MN平行于y軸，滿足，動點P在直線上，滿足證明：過點N且垂直于OP的直線過橢圓C的右焦點F．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為增強學生體質(zhì)，合肥一中組織體育社團，某班級有4人積極報名參加籃球和足球社團，每人只能從兩個社團中選擇其中一個社團，大家約定：每個人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己參加哪個社團，擲出點數(shù)為5或6的人參加籃球社團，擲出點數(shù)小于5的人參加足球社團．

（1）求這4人中恰有1人參加籃球社團的概率；

（2）用，分別表示這4人中參加籃球社團和足球社團的人數(shù)，記隨機變量X為和之差的絕對值，求隨機變量X的分布列與數(shù)學期望 ．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) .

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)在處取得極值，對任意恒成立，求實數(shù)的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設f(x)是定義在區(qū)間(1，+∞)上的函數(shù)，其導函數(shù)為.如果存在實數(shù)a和函數(shù)h(x)，其中h(x)對任意的x∈(1，+∞)都有h(x)>0，使得=h(x)(x2-ax+1)，則稱函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P(a).

(1)設函數(shù)，其中b為實數(shù).

①求證：函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P(a).②求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

(2)已知函數(shù)g(x)具有性質(zhì)P(2)，給定x1，x2∈(1，+∞)，x1<x2.設m為實數(shù)， ，且.若，求實數(shù)m的取值范圍

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：的離心率，短軸的一個端點到焦點的距離為.

（1）求橢圓的方程；

（2）斜率為的直線與橢圓交于，兩點，線段的中點在直線上，求直線與軸交點縱坐標的最小值.

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