【題目】已知拋物線為其焦點(diǎn),為其準(zhǔn)線,過(guò)任作一條直線交拋物線于兩點(diǎn),分別為、上的射影,的中點(diǎn),給出下列命題:

1;(2;(3;

4的交點(diǎn)的軸上;(5交于原點(diǎn).

其中真命題的序號(hào)為_________.

【答案】1)(2)(3)(4)(5

【解析】

1)由、在拋物線上,根據(jù)拋物線的定義可知,,從而有相等的角,由此可判斷;

2)取的中點(diǎn),利用中位線即拋物線的定義可得,從而可得;

3)由(2)知,平分,從而可得,根據(jù),利用垂直于同一直線的兩條直線平行,可得結(jié)論;

4)取軸的交點(diǎn),可得,可得出的中點(diǎn)在軸上,從而得出結(jié)論;

5)設(shè)直線的方程為,設(shè)點(diǎn)、,證明出、三點(diǎn)共線,同理得出、、三點(diǎn)共線,由此可得出結(jié)論.

1)由于、在拋物線上,且、分別為、在準(zhǔn)線上的射影,

根據(jù)拋物線的定義可知,,則,

,則,

,,則,即,(1)正確;

2)取的中點(diǎn),則,即

2)正確;

3)由(2)知,,,

,

平分,,由于,,(3)正確;

4)取軸的交點(diǎn),則,軸,可知,

,即點(diǎn)的中點(diǎn),由(3)知,平分,過(guò)點(diǎn),

所以,的交點(diǎn)的軸上,(4)正確;

5)設(shè)直線的方程為,設(shè)點(diǎn)、,則點(diǎn)、,

將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立,消去得,,

由韋達(dá)定理得,

直線的斜率為,

直線的斜率為,,

、、三點(diǎn)共線,同理得出、三點(diǎn)共線,

所以,交于原點(diǎn),(5)正確.

綜上所述,真命題的序號(hào)為:(1)(2)(3)(4)(5.

故答案為:(1)(2)(3)(4)(5.

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