【題目】已知函數(shù),

1)討論函數(shù)的單調(diào)性;

2)函數(shù)有兩個極值點,且,求證:.

【答案】1)討論見解析(2)證明見解析

【解析】

1)首先確定函數(shù)的定義域和導(dǎo)函數(shù);令,當可確定,得到函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減;當時,分別在兩種情況下,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負得到函數(shù)的單調(diào)性;

2)令,得到,可知是方程上的兩根,結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)和韋達定理可確定,由此可將所證不等式轉(zhuǎn)化為證明當時,;即證,令,通過導(dǎo)數(shù)可求得,進而證得結(jié)論.

1)由得: 定義域為

,則

①當,即時,則,即 上單調(diào)遞減

②當,即時,令,解得:,

⑴當時,

時,,即;當時,,即

,上單調(diào)遞減;

上單調(diào)遞增

⑵當時,

時,,即;當時,,即

上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減

2)令

有兩個極值點 是方程上的兩根

對稱軸為

,又

要證

即證:時,,,

,則

時, 上單調(diào)遞增

,故原不等式得證

練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為,(為參數(shù),為直線傾斜角).以平面直角坐標系的原點為極點,軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線的極坐標方程是.

(1)當時,直線的普通方程與曲線的直角坐標方程;

(2)已知點的直角坐標為,直線與曲線交于兩點,當面積最大時,求直線的普通方程.

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【題目】函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),且.

1)確定的解析式;

2)判斷上的單調(diào)性,并用定義證明;

3)解關(guān)于的不等式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標系中,曲線的方程是: ,以坐標原點為極點, 軸正半軸為極軸建立極坐標系.

(1)求曲線的極坐標方程;

(2)設(shè)過原點的直線與曲線交于, 兩點,且,求直線的斜率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】2019年春節(jié)期間,某超市準備舉辦一次有獎促銷活動,若顧客一次消費達到400元則可參加一次抽獎活動,超市設(shè)計了兩種抽獎方案.

方案一:一個不透明的盒子中裝有30個質(zhì)地均勻且大小相同的小球,其中10個紅球,20個白球,攪拌均勻后,顧客從中隨機抽取一個球,若抽到紅球則顧客獲得60元的返金券,若抽到白球則獲得20元的返金券,且顧客有放回地抽取3次.

方案二:一個不透明的盒子中裝有30個質(zhì)地均勻且大小相同的小球,其中10個紅球,20個白球,攪拌均勻后,顧客從中隨機抽取一個球,若抽到紅球則顧客獲得80元的返金券,若抽到白球則未中獎,且顧客有放回地抽取3次.

(1)現(xiàn)有兩位顧客均獲得抽獎機會,且都按方案一抽獎,試求這兩位顧客均獲得180元返金券的概率;

(2)若某顧客獲得抽獎機會.

①試分別計算他選擇兩種抽獎方案最終獲得返金券的數(shù)學(xué)期望;

②為了吸引顧客消費,讓顧客獲得更多金額的返金券,該超市應(yīng)選擇哪一種抽獎方案進行促銷活動?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的離心率為,它的一個頂點A與拋物線的焦點重合.

1求橢圓C的方程;

2是否存在直線l,使得直線l與橢圓C交于M,N兩點,且橢圓C的右焦點F恰為的垂心三條高所在直線的交點?若存在,求出直線l的方程:若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】中國清朝數(shù)學(xué)家李善蘭在1859年翻譯《代數(shù)學(xué)》中首次將譯做:函數(shù),沿用至今,為什么這么翻譯,書中解釋說凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者,則此為彼之函數(shù)”1930年美國人給出了我們課本中所學(xué)的集合論的函數(shù)定義,已知集合,,給出下列四個對應(yīng)法則,請由函數(shù)定義判斷,其中能構(gòu)成從的函數(shù)的是(

A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某公園要設(shè)計如圖所示的景觀窗格(其結(jié)構(gòu)可以看成矩形在四個角處對稱地截去四個全等的三角形所得,如圖二中所示多邊形),整體設(shè)計方案要求:內(nèi)部井字形的兩根水平橫軸米,兩根豎軸米,記景觀窗格的外框(如圖二實線部分,軸和邊框的粗細忽略不計)總長度為米.

(1)若,且兩根橫軸之間的距離為米,求景觀窗格的外框總長度;

(2)由于預(yù)算經(jīng)費限制,景觀窗格的外框總長度不超過米,當景觀窗格的面積(多邊形的面積)最大時,給出此景觀窗格的設(shè)計方案中的大小與的長度.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)其中

(i)當時,若,則實數(shù)的取值范圍是___________;

(ii) 若存在實數(shù)使得方程有兩個實根,則實數(shù)的取值范圍是_______.

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