Question

【題目】已知橢圓的離心率為，它的一個頂點A與拋物線的焦點重合．

1求橢圓C的方程；

2是否存在直線l，使得直線l與橢圓C交于M，N兩點，且橢圓C的右焦點F恰為的垂心三條高所在直線的交點？若存在，求出直線l的方程：若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）因為橢圓的一個頂點與拋物線的焦點重合，所以，又因為離心率為，可求出，的值，得到橢圓方程．

（2）先假設存在直線與橢圓交于、兩點，且橢圓的右焦點恰為的垂心．設出，坐標，由（1）中所求橢圓方程，可得，點坐標，利用若為的垂心，則，就可得到含，，，的等式，再設方程為，代入橢圓方程，由已知條件能求出結果．

解：1橢圓的離心率為，它的一個頂點A與拋物線的焦點重合．

拋物線的焦點坐標為，

由已知得，再由，

解得，

橢圓方程為．

2設，，，，

，是垂心，

設MN的方程為，

代入橢圓方程后整理得：

，

將代入橢圓方程后整理得：，

，是垂心，，

，，，

整理得：，

，

或舍

存在直線l，其方程為使題設成立．