Question

【題目】已知函數(shù)其中且

（i）當(dāng)時(shí)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________；

(ii) 若存在實(shí)數(shù)使得方程有兩個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.

Answer 1

【答案】

【解析】

（1）由分段函數(shù)，討論①當(dāng)x＞1時(shí)，②當(dāng)x≤1時(shí)，解不等式即可（2）討論①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，②當(dāng)a≥1時(shí)，作圖象觀察即可

（i）當(dāng)a＝2時(shí)，或，解得x＜2，

故f（x）＜4，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（﹣∞，2）；

（ii）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）的大致圖象為：

當(dāng)x＞1時(shí)，函數(shù)f（x）＝ax為減函數(shù)，則0＜f（x）＜f（1）＝a，

當(dāng)x≤1時(shí)，函數(shù)f（x）＝x+為增函數(shù)，則f（x）＜f（1）＝1+，

此時(shí)存在實(shí)數(shù)m使得方程f（x）﹣m＝0有兩個(gè)實(shí)根，

當(dāng)a＞1時(shí)，當(dāng)x＞1時(shí)，函數(shù)f（x）＝ax為增函數(shù)，則f（x）＞f（1）＝a，

當(dāng)x≤1時(shí)，函數(shù)f（x）＝x+為增函數(shù)，則f（x）＜f（1）＝1+，

如圖所示：

若存在實(shí)數(shù)m使得方程f（x）﹣m＝0有兩個(gè)實(shí)根，

則需要滿足1+＞a，解得1＜a＜2，

綜上所述a的取值范圍為（0，1）∪（1，2）

故答案為：（﹣∞，2），（0，1）∪（1，2）