Question

4．若函數(shù)f（x）=log_a（x³-2x）（a＞0且a≠1）在區(qū)間（-$\sqrt{2}$，-1）內(nèi)恒有f（x）＞0，則f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（　�。�

• A． （-∞，-$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$），（$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，+∞）
• B． （-$\sqrt{2}$，-$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$），（$\sqrt{2}$，+∞）
• C． （-$\sqrt{2}$，-$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$），（$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，+∞）
• D． （-$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$）

Answer 1

分析 求函數(shù)的定義域，利用換元法結(jié)合條件判斷a的取值范圍，利用復(fù)合函數(shù)和導(dǎo)數(shù)即可求出函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間．

解答 解：設(shè)t=g（t）=x³-2x，
由t=0得x（x²-2）=0，
則x=0，或x=$\sqrt{2}$或x=-$\sqrt{2}$，
由x³-2x＞0得-$\sqrt{2}$＜x＜0或x＞$\sqrt{2}$，
g′（t）=3x²-2，當(dāng)-$\sqrt{2}$＜x＜-1時，g′（t）＞0，此時函數(shù)g（t）為增函數(shù)，
則0＜g（t）＜1，
若a＞1，則y=log_at＜0恒成立，則不滿足條件f（x）＞0，
若0＜a＜1，則y=log_at＞0恒成立，滿足條件，即0＜a＜1，
要求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間，即求函數(shù)t=g（t）=x³-2x的遞增區(qū)間，
由g′（t）=3x²-2＞0得x＜-$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$或x＞$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
∵-$\sqrt{2}$＜x＜0或x＞$\sqrt{2}$，
∴-$\sqrt{2}$＜x＜-$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$或x＞$\sqrt{2}$，
即函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-$\sqrt{2}$，-$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$），（$\sqrt{2}$，+∞），
故選：B

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解決，利用換元法以及導(dǎo)數(shù)法是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．