Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-（a+1）x+1，g（x）=e^x，其中a∈R，集合A={x||x-t|＜

1

2

}．
（1）當(dāng)a=-2時，記集合B={x|f（x）＞0}，若A⊆B，求實數(shù)t的取值范圍；
（2）若F（x）=[f（x）+a-1]•g（x），當(dāng)a≠0時，求函數(shù)F（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=-2時，f（x）=-2x²+x+1，先化簡集合B和A，因為A⊆B，得出關(guān)于t的不等關(guān)系：

t- 1 2 ≥- 1 2 t+ 1 2 ≤1

，解得實數(shù)t的取值范圍即可；
（2）先求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），求出f′（x）=0的值，再討論滿足f′（x）=0的點附近的導(dǎo)數(shù)的符號的變化情況，從而的函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間以及函數(shù)的極值，fˊ（x）＞0的區(qū)間是增區(qū)間，fˊ（x）＜0的區(qū)間是減區(qū)間．

解答：解：（1）當(dāng)a=-2時，f（x）=-2x²+x+1，B={x|-2x²+x+1＞0}={x|-

1

2

＜x＜1}，
A={x||x-t|＜

1

2

}={x|t-

1

2

＜x＜

1

2

+t}，
因為A⊆B，所以

t- 1 2 ≥- 1 2 t+ 1 2 ≤1

，解得0≤t≤

1

2

，
所以實數(shù)t的取值范圍是[0，

1

2

]．
（2）F（x）=[ax²-（a+1）x+a]e^x，
F′（x）=[ax²+（a-1）x-1]e^x=a（x-

1

a

）（x+1）e^x，
令F′（x）=0，解得x=

1

a

，或x=-1．
以下分四種情況討論：
（ⅰ）當(dāng)a＞0時，則-1＜

1

a

．當(dāng)x變化時，F(xiàn)′（x），F(xiàn)（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1， 1 a ）	1 a	（ 1 a ，+∞）
F′（x）	+	0	-	0	+
F（x）	?↗	極大值	↘?	極小值	?↗

所以函數(shù)F（x）在（-∞，-1），（

1

a

，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，在（-1，

1

a

）內(nèi)是減函數(shù)．
函數(shù)F（x）在x=-1處取得極大值F（-1），且F（-1）=（3a+1）e^-1；函數(shù)F（x）在x=

1

a

處取得極小值F（

1

a

），且F（

1

a

）=（a-1）e^{＜/sup＞f（1，a）＜sup＞}．
（ⅱ）當(dāng)-1＜a＜0時，則

1

a

＜-1，當(dāng)x變化時，F(xiàn)′（x），F(xiàn)（x）的變化情況如下表：

x	（-∞， 1 a ）	1 a	（ 1 a ，-1）	-1	（-1，+∞）
F′（x）	-	0	+	0	-
F（x）	?↘	極小值	?↗	極大值	?↘

所以函數(shù)F（x）在（-∞，

1

a

），（-1，+∞）內(nèi)是減函數(shù)，在（

1

a

，-1）內(nèi)是增函數(shù)．
函數(shù)F（x）在x=-1處取得極大值F（-1），且F（-1）=（3a+1）e^-1；函數(shù)F（x）在x=

1

a

處取得極小值F（

1

a

），且F（

1

a

）=（a-1）e^{＜/sup＞f（1，a）＜sup＞}．
（ⅲ）當(dāng)a=-1時，F(xiàn)′（x）＜0，所以函數(shù)F（x）在R上是減函數(shù)，無極值．
所以函數(shù)F（x）在（-∞，-1），（

1

a

，+∞）內(nèi)是減函數(shù)，在（-1，

1

a

）內(nèi)是增函數(shù)．
函數(shù)F（x）在x=-1處取得極小值F（-1），且F（-1）=（3a+1）e^-1；函數(shù)F（x）在x=

1

a

處取得極大值F（

1

a

），且F（

1

a

）=（a-1）e

1

a

．

點評：本題主要考查了集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用、函數(shù)的極值，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，考查綜合利用數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題的能力．