Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（1）=0，當x＞0時，有xf′（x）-f（x）＞0成立，則不等式f（x）＞0的解集是（　　）

• A、（1，+∞）
• B、（-1，0）
• C、（-1，0）∪（1，+∞）
• D、（-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：由函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（1）=0，則f（-1）=f（0）=f（1）=0，則可以將定義域R分為（-∞，-1），（-1，0），（0，1），（1，+∞）四個區(qū)間結(jié)合單調(diào)性進行討論，可得答案．

解答： 解：若f（x）在（-∞，-1）上為減函數(shù)，
則f（x）＞0，f'（x）＜0
則xf′（x）-f（x）＞0不成立
若f（x）在（-∞，-1）上為增函數(shù)，
則f（x）＜0，f'（x）＞0
則xf′（x）-f（x）＞0成立
故：f（x）在（-∞，-1）上時，則f（x）＜0
若f（x）在（-1，0）上為增函數(shù)，
則f（x）＜0，f'（x）＞0
則xf′（x）-f（x）＞0不成立
若f（x）在（-∞，-1）上為減函數(shù)，
則f（x）＞0，f'（x）＜0
則xf′（x）-f（x）＞0成立
故：f（x）在（-1，0）上時，則f（x）＞0
又∵奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，
則f（x）在（0，1）上時，則f（x）＜0，f（x）在（1，+∞）上時，則f（x）＞0
綜合所述，不等式f（x）＞0的解集是（-1，0）∪（1，+∞）
故選：C

點評：解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)，找出函數(shù)的零點，并以零點為端點將定義域分為幾個不同的區(qū)間，然后在每個區(qū)間上結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進行討論，這是分類討論思想在解決問題的巨大作用的最好體現(xiàn)，分類討論思想往往能將一個復(fù)雜的問題的簡單化，是高中階段必須要掌握的一種方法．