Question

（2013•德州二模）已知函數f（x）=a（x²-2x+1）+1nx+1．
（I）當a=-

1

4

時，求函數f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若對?x∈[1，+∞）f（x）≥x恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）求導函數，利用導數的正負，可得函數f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）對?x∈[1，+∞），f（x）≥x恒成立，等價于當x≥1時，a（x²-2x+1）+1nx-x+1≥0恒成立，令h（x）=a（x²-2x+1）+1nx-x+1，只需h（x）≥0，即可求實數a的取值范圍．

解答：解：（I）當a=-

1

4

時，f（x）=-

1

4

（x²-2x+1）+1nx+1
∴f′(x)=-

(x-2)(x+1)

2x

∵x＞0，x+1＞0
∴當0＜x＜2時，f′（x）＞0，當x＞2時，f′（x）＜0，
∴f（x）的單調遞增區(qū)間為（0，2），單調遞減區(qū)間為（2，+∞）；
（II）當x≥1時，a（x²-2x+1）+1nx+1≥x恒成立，即當x≥1時，a（x²-2x+1）+1nx-x+1≥0恒成立
令h（x）=a（x²-2x+1）+1nx-x+1，只需h（x）≥0即可
求導函數，可得h′(x)=

(2ax-1)(x-1)

x

（x＞1）
（1）若a≤0，∵x＞1時，h′（x）＜0
∴h（x）在（1，+∞）上單調遞減
∴h（x）≤h（1）=0，不滿足題意；
（2）若a＞0，令h′（x）=0，可得x=

1

2a

①0＜

1

2a

≤1，即a≥

1

2

時，h（x）在（1，+∞）上為增函數
∴x≥1時，h（x）≥h（1）=0，滿足題意；
②

1

2a

＞1，即0＜a＜

1

2

，h（x）在（1，

1

2a

）上單調遞減
∴1＜x＜

1

2a

時，h（x）≤h（1）=0，不滿足題意；
綜上，a的取值范圍是[

1

2

，+∞）．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．