Question

2．已知f（x）=|1-$\frac{1}{x}$|，若存在實數a，b（a＜b），使得y=f（x）在[a，b]上的值域為[ma，mb]，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 由函數y=f （x）的定義域為[a，b]，值域為[ma，mb]（m≠0）可判斷出m＞0及a＞0，得a，b∈（1，+∞），由函數在此區(qū)間內是增函數，建立方程，即可得到實數m所滿足的不等式，解出實數m的取值范圍．

解答 解：若存在實數a，b使函數y=f（x）的定義域為[a，b]，值域為[ma，mb]（m≠0）；
由mb＞ma，b＞a得m＞0，而ma＞0，所以a＞0；
由（I）知a，b∈（0，1）或a∈（0，1），b∈（1，+∞）時，適合條件的實數a，b不存在，
故只能是a，b∈（1，+∞）；
∵f（x）=1-$\frac{1}{x}$在∈（1，+∞）上為增函數，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=ma}\\{f（b）=mb}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{1-\frac{1}{a}=ma}\\{1-\frac{1}=mb}\end{array}\right.$，
∴a，b是方程mx²-x+1=0的兩個不等實根，且二實根均大于1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△=1-4m＞0}\\{m-1+1＞0}\\{\frac{1}{2m}＞1}\end{array}\right.$，解得0＜m＜$\frac{1}{4}$，
故實數m的取值范圍是（0，$\frac{1}{4}$）．

點評 本題考查了函數與方程的綜合應用問題，解題的關鍵是理解題意，將問題正確轉化，進行分類討論探究，是綜合性較強的題目．