Question

19．已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=e^x．
（1）若函數(shù)φ（x）=f（x）-$\frac{x+1}{x-1}$，求函數(shù)φ（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)直線l為函數(shù)f（x）的圖象上一點A（x₀，f（x₀））處的切線，在區(qū)間（1，+∞）上是否存在x₀使得直線l與曲線y=g（x）相切，若存在，求出x₀的個數(shù)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由條件求出φ（x）以及定義域，由求導(dǎo)公式和法則求出導(dǎo)函數(shù)，化簡后確定導(dǎo)數(shù)恒大于0，即可求出函數(shù)φ （x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）先由導(dǎo)數(shù)的幾何意義和點斜式方程求出直線l的方程，再設(shè)l與曲線y=g（x）相切于點（x₁，${e}^{{x}_{1}}$），同理表示出直線l的方程，對比后可得lnx₀-1=$\frac{1}{{x}_{0}}$（lnx₀+1 ），求出lnx₀=$\frac{{x}_{0}+1}{{x}_{0}-1}$，由（1）中知φ（x）的單調(diào)性，求出φ（e）、φ（e²）并判斷出符號，結(jié)合零點存在性定理可得在（1，+∞）上x₀存在且唯一．

解答 解：（1）由題意得，φ（x）=f（x）-$\frac{x+1}{x-1}$=lnx-$\frac{x+1}{x-1}$，
∴φ（x）的定義域是（0，1）∪（1，+∞），
且φ′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{（x+1）′（x-1）-（x+1）（x-1）′}{（x-1）^{2}}$
=$\frac{1}{x}+\frac{2}{（x-1）^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+1}{{x（x-1）}^{2}}$＞0，
∵x＞0且x≠1，∴φ'（x）＞0，
∴函數(shù)φ（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1）和（1，+∞）；
（2）假設(shè)在區(qū)間（1，+∞）上存在x₀滿足條件，
∵f′（x）=$\frac{1}{x}$，則f′（x₀）=$\frac{1}{{x}_{0}}$，
∴切線l的方程為y-lnx₀=$\frac{1}{{x}_{0}}$（x-x₀），即y=$\frac{1}{{x}_{0}}$x+lnx₀-1，①
設(shè)直線l與曲線y=g（x）相切于點（x₁，${e}^{{x}_{1}}$），
∵g′（x）=e^x，∴${e}^{{x}_{1}}$=$\frac{1}{{x}_{0}}$，則x₁=-lnx₀，
∴直線l方程又為y-$\frac{1}{{x}_{0}}$=$\frac{1}{{x}_{0}}$（x+lnx₀），即y=$\frac{1}{{x}_{0}}$x+$\frac{1}{{x}_{0}}$lnx₀+$\frac{1}{{x}_{0}}$，②
由①②得lnx₀-1=$\frac{1}{{x}_{0}}$（lnx₀+1 ），得lnx₀=$\frac{{x}_{0}+1}{{x}_{0}-1}$，
下面證明在區(qū)間（1，+∞）上x₀存在且唯一．
由（1）可知，φ（x）=lnx-$\frac{x+1}{x-1}$在區(qū)間（1，+∞）上遞增．
又φ（e）=lne-$\frac{e+1}{e-1}$=$\frac{-2}{e-1}$＜0，φ（e²）=lne2-$\frac{{e}^{2}+1}{{e}^{2}-1}$=$\frac{{e}^{2}-3}{{e}^{2}-1}$＞0，
結(jié)合零點存在性定理知：φ（x）=0必在區(qū)間（e，e²）上有唯一的根x₀，
∴在區(qū)間（1，+∞）上存在唯一的x₀，使得直線l與曲線y=g（x）相切．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究在曲線上某點處的切線方程，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)零點存在性定理等應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，分析、解決問題的能力．