解:(I)由題意
,…………………………1分
當(dāng)
,
,
時,
,…2分
,則有
或
,
.
即
或
,
. ……………4分
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161342921486.gif" style="vertical-align:middle;" />,故
在
內(nèi)的解集為
.……5分
(II)由題意,
是曲線
上的動點(diǎn),故
. ……………6分
因此,
,
所以,
的值域
. ……………8分
又
的解為0和
,故要使
恒成立,只需
,而
,
即
,所以
的最大值
. …………………10分
(III)解:因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231613438881547.gif" style="vertical-align:middle;" />,
設(shè)周期
.
由于函數(shù)
須滿足“圖像關(guān)于點(diǎn)
對稱,且在
處
取得最小值”.
因此,根據(jù)三角函數(shù)的圖像特征可知,
,
.
又因?yàn)椋稳?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161344278810.gif" style="vertical-align:middle;" />的函數(shù)的圖像的對稱中心都是
的零點(diǎn),故需滿足
,而當(dāng)
,
時,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161344403790.gif" style="vertical-align:middle;" />,
;所以當(dāng)且僅當(dāng)
,
時,
的圖像關(guān)于點(diǎn)
對稱;此時,
,
.
(i)當(dāng)
時,
,進(jìn)一步要使
處
取得最小值,則有
,
;又
,則有
,
;因此,由
可得
,
;
(ii)當(dāng)
時,
,進(jìn)一步要使
處
取得最小值,則有
,
;又
,則有
,
;因此,由
可得
,
;
綜上,使得函數(shù)
滿足“圖像關(guān)于點(diǎn)
對稱,且在
處
取得最小值”的充要條件是“當(dāng)
時,
(
)或當(dāng)
時,
(
)”. ……………………………………………………14分
(第III小題將根據(jù)學(xué)生對問題探究的完整性和在研究過程中所體現(xiàn)的思維層次,給予不同的評分)