Question

已知函數(shù)．

（1）若，討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；

（2）若且對(duì)任意的，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

（1）參考解析；（2）

【解析】

試題分析：（1）函數(shù)，，所以可得函數(shù).通過(guò)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，以及對(duì)討論即可得到結(jié)論.

（2）由且對(duì)任意的，將換留下一個(gè)參數(shù)，又恒成立.構(gòu)建新函數(shù)，通過(guò)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得到，對(duì)的取值分類討論即可得結(jié)論.

試題解析：（1）時(shí)，，則， 1分

當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減； 2分

當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增； 3分

當(dāng)時(shí)，存在，使得，即， 4分

時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增， 5分

時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減． 6分

（2）時(shí)，，

恒成立，等價(jià)于， 7分

記，

則， 8分

當(dāng)，即時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時(shí)，，即恒成立； 10分

當(dāng)，即時(shí)，記，則，

存在，使得,

此時(shí)時(shí)，，單調(diào)遞增，，即，

所以，即，不合題意； 12分

當(dāng)時(shí)，，不合題意； 13分

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是 14分

考點(diǎn)：1.函數(shù)的單調(diào)性.2.函數(shù)的最值.3.恒成立問(wèn)題.4.歸納化歸的思想.