Question

19．對(duì)于函數(shù)f（x）=sinx，g（x）=cosx，h（x）=x+$\frac{π}{3}$，有如下五個(gè)命題：
①f（x）-g（x）的最大值為$\sqrt{2}$；
②將f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{2}$個(gè)單位可得g（x）的圖象；．
③f[h（x）]在區(qū)間[-$\frac{π}{2}$，0]上是增函數(shù)；
④點(diǎn)（$\frac{2π}{3}$，0）是函數(shù)f[h（x）]圖象的一個(gè)對(duì)稱中心；
⑤函數(shù)g[h（x）]的圖象上相鄰的兩條對(duì)稱軸之間的距離是2π．
其中真命題的序號(hào)是①③④．

Answer 1

分析 ①化函數(shù)f（x）-g（x）為正弦型函數(shù)，即可求出f（x）-g（x）的最大值；
②根據(jù)平移公式，即可得出f（x）圖象向右平移$\frac{π}{2}$個(gè)單位后得到的函數(shù)解析式；
③求出x∈[-$\frac{π}{2}$，0]時(shí)x+$\frac{π}{3}$的取值范圍，從而求出f[h（x）]的單調(diào)性；
④當(dāng)x=$\frac{2π}{3}$時(shí)，f[h（x）]=0，得出（$\frac{2π}{3}$，0）是函數(shù)f[h（x）]圖象的一個(gè)對(duì)稱中心；
⑤求出函數(shù)g[h（x）]圖象的對(duì)稱軸，即可求出圖象上相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離．

解答 解：對(duì)于①，函數(shù)f（x）-g（x）=sinx-cosx=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$），∴f（x）-g（x）的最大值為$\sqrt{2}$，命題正確；
對(duì)于②，將f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{2}$個(gè)單位，得y=sin（x-$\frac{π}{2}$）=-cosx，不能得到g（x）=cosx的圖象，命題錯(cuò)誤；．
對(duì)于③，當(dāng)x∈[-$\frac{π}{2}$，0]時(shí)，x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，∴f[h（x）]=sin（x+$\frac{π}{3}$）在區(qū)間[-$\frac{π}{2}$，0]上是增函數(shù)，命題正確；
對(duì)于④，當(dāng)x=$\frac{2π}{3}$時(shí)，f[h（x）]=sin（$\frac{2π}{3}$+$\frac{π}{3}$）=0，∴點(diǎn)（$\frac{2π}{3}$，0）是函數(shù)f[h（x）]圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，命題正確；
對(duì)于⑤，函數(shù)g[h（x）]=cos（x+$\frac{π}{3}$）圖象的對(duì)稱軸是x=kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z，其圖象上相鄰的兩條對(duì)稱軸之間的距離是π，命題錯(cuò)誤．
綜上，其中真命題的序號(hào)是①③④．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問題，是綜合性題目．