Question

4．如圖，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，∠PAD=90°，且PA=AD=2，E、F、G分別是線段PA、PD、CD的中點．
（1）求異面直線EG、BD所成角的余弦值．
（2）求三棱椎E-FGC的體積．

Answer 1

分析 （1）取BC中點N，連結(jié)NG，由三角形中位線定理得BD∥NG，則∠EGN就是異面直線EG，BD的夾角．取NG的中點O，連結(jié)AO，EO，然后通過求解直角三角形得答案；
（2）過E做EM⊥PD于M，由面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，可得CD⊥AD，得到CD⊥面PAD，有EM⊥CD，再由線面垂直的判定得EM⊥面PCD，得到EM為三棱椎E-FGC的高，由已知求出底面積可得三棱椎E-FGC的體積．

解答 解：（1）如圖，取BC中點N，連結(jié)NG，
∵BD∥NG，
∴∠EGN就是異面直線EG，BD的夾角．
取NG的中點O，連結(jié)AO，EO，
由已知可求得：$EO=\sqrt{E{A^2}+A{O^2}}=\frac{{\sqrt{22}}}{2}$$OG=\frac{{\sqrt{2}}}{2}，EG=\sqrt{E{O^2}+O{G^2}}=\sqrt{6}$
∴$cos∠EGN=cos∠EGO=\frac{{\sqrt{3}}}{6}$即為所求；
（2）過E做EM⊥PD于M，
∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，CD⊥AD，
∴CD⊥面PAD，
∵EM?面PAD，
∴EM⊥CD，
∵CD∩PD=D，
∴EM⊥面PCD，
∵PA=AD=2，∠PAD=90°，
∴∠APD=45°，
又∵E、F、G分別是線段PA、PD、CD的中點，
∴$EM=\frac{{\sqrt{2}}}{2}，F(xiàn)D=\sqrt{2}，CG=1$．
${V_{E-FGC}}=1×\sqrt{2}×\frac{1}{2}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}×\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$．

點評 本題考查異面直線所成角的求法，訓(xùn)練了棱錐體積的求法，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．