Question

6．已知橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{m}=1$的離心率$e∈[\frac{1}{3}，\frac{1}{2}）$，則m的取值范圍為$（3，\frac{32}{9}]∪[\frac{9}{2}，\frac{16}{3}）$．

Answer 1

分析 利用橢圓的方程，分兩種情況求出橢圓的離心率，再根據(jù)離心率的范圍，求出m的取值范圍．

解答 解：當m＞4時，a=$\sqrt{m}$，c=$\sqrt{m-4}$，
橢圓的離心率為：e=$\sqrt{\frac{m-4}{m}}$∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$），
解得m∈[$\frac{9}{2}$，$\frac{16}{3}$）；
當0＜m＜4時，a=2，c=$\sqrt{4-m}$，
橢圓的離心率為：e=$\sqrt{\frac{4-m}{4}}$∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$），
解得m∈（3，$\frac{32}{9}$]；
所以m的范圍為：（3，$\frac{32}{9}$]∪[$\frac{9}{2}$，$\frac{16}{3}$）．
故答案為：（3，$\frac{32}{9}$]∪[$\frac{9}{2}$，$\frac{16}{3}$）．

點評 本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)與離心率的應用問題，解題時應注意橢圓的長軸位置在x，y軸兩種情況，是基礎(chǔ)題