Question

如圖，在平行四邊形中，，，將沿折起到的位置.

（1）求證：平面；

（2）當取何值時，三棱錐的體積取最大值？并求此時三棱錐的側面積.

 

 

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）時，三棱錐體積取最大值，此時側面積.

【解析】

試題分析：本題主要考查余弦定理、勾股定理、線面垂直、三角形面積公式、三棱錐的側面積和體積等基礎知識，考查學生的空間想象能力、邏輯推理能力.第一問，在中，利用余弦定理得到BD的長，從而判斷出，利用平行線，得，，利用線面垂直的判定得平面；

第二問，結合第一問的證明知，當時，三棱錐的體積最大，此時平面，所以和為直角三角形，由線面垂直的判定可證出平面，所以，所以為直角三角形，所以三棱錐的側面積為3個直角三角形之和.

試題解析：（I）在中，

∵ ∴，

又，、平面

∴平面

（2）設E點到平面ABCD距離為，則.

由（I）知

當時，

∵，、平面

∴平面

∴當時，，三棱錐的體積取最大值.

此時平面，∴、

在中，

在Rt△ADE中，

∵，，，、平面

∴平面 ∴

綜上，時，三棱錐體積取最大值，此時側面積.

考點：余弦定理、勾股定理、線面垂直、三角形面積公式、三棱錐的側面積和體積.