Question

5．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAB⊥平面ABCD，AB=AP=3，AD=PB=2，E為線段AB上一點，且AE：EB=7：2，點F、G分別為線段PA、PD的中點．
（1）求證：PE⊥平面ABCD；
（2）若平面EFG將四棱錐P-ABCD分成左右兩部分，求這兩部分的體積之比．

Answer 1

分析 （1）證明PE⊥AB，利用平面PAB⊥平面ABCD，即可證明：PE⊥平面ABCD；
（2）若平面EFG將四棱錐P-ABCD分成左右兩部分，利用分割法求體積，即可求這兩部分的體積之比．

解答 （1）證明：在等腰△APB中，$cos∠ABP=\frac{{\frac{1}{2}PB}}{AB}=\frac{1}{3}$，
則由余弦定理可得，$P{E^2}={（\frac{2}{3}）^2}+{2^2}-2×\frac{2}{3}×2×\frac{1}{3}=\frac{32}{9}$，∴$PE=\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$，…（2分）
∴PE²+BE²=4=PB²，∴PE⊥AB，…（3分）
∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，
∴PE⊥平面ABCD．…（4分）
（2）解：設(shè)平面EFG與棱CD交于點N，連接EN，因為GF∥AD，所以GF∥平面ABCD，
從而可得EN∥CD．…（6分）
延長FG至點M，使GM=GF，連接DM，MN，則AFE-DMN為直三棱柱，…（7分）
∵F到AE的距離為$\frac{1}{2}PE=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，$AE=\frac{7}{3}$，
∴${S_{△AEF}}=\frac{1}{2}×\frac{7}{3}×\frac{{2\sqrt{2}}}{3}=\frac{{7\sqrt{2}}}{9}$，
∴${V_{AFE-DMN}}=\frac{{7\sqrt{2}}}{9}×2=\frac{{14\sqrt{2}}}{9}$，${V_{G-DMN}}=\frac{1}{3}×\frac{{7\sqrt{2}}}{9}×1=\frac{{7\sqrt{2}}}{27}$，
∴${V_{AEF-NDG}}={V_{AFE-DMN}}-{V_{G-DMN}}=\frac{{35\sqrt{2}}}{27}$，
又${V_{P-ABCD}}=\frac{1}{3}×PE×{S_{矩形ABCD}}=\frac{{8\sqrt{2}}}{3}$，
∴${V_左}：{V_右}=\frac{{35\sqrt{2}}}{27}：（\frac{{8\sqrt{2}}}{3}-\frac{{35\sqrt{2}}}{27}）=35：37$．…（12分）

點評 本題考查線面垂直的證明，考查體積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．