Question

17．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且bcosC+ccosB=3acosB，b=2，且△ABC的面積為$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，則a+c=4．

Answer 1

分析 由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用化簡已知等式可得sinA=3sinAcosB，結合sinA＞0，解得cosB=$\frac{1}{3}$，利用同角三角函數(shù)基本關系式可求sinB，利用三角形面積公式可求ac的值，進而利用余弦定理可求a+c的值．

解答 解：∵由正弦定理有：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$，①
由已知bcosC+ccosB=3acosB，②
∴sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA=3sinAcosB，
∴由于sinA＞0，解得：cosB=$\frac{1}{3}$，
∵B是△ABC的角，
∴B∈[0，π]，可得：sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∵△ABC的面積為$\frac{3\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}ac•$$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴解得：ac=$\frac{9}{2}$，
∴由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，可得：4=a²+c²-$\frac{2}{3}$ac，解得：a²+c²=4+3=7，
∴a+c=$\sqrt{（a+c）^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}+2ac}$=$\sqrt{7+9}$=4．
故答案為：4．

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．