Question

如圖所示，PA⊥平面ABC，點C在以AB為直徑的⊙O上，∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，點E為線段PB的中點，點M在弧AB上，且OM∥AC.

(1)求證：平面MOE∥平面PAC.

(2)求證：平面PAC⊥平面PCB.

(3)設二面角M—BP—C的大小為θ，求cos θ的值．

 

Answer 1

（1）見解析 （2）見解析 （3）

【解析】(1)因為點E為線段PB的中點，點O為線段AB的中點，所以OE∥PA.

因為PA?平面PAC，OE?平面PAC，

所以OE∥平面PAC.

因為OM∥AC，

因為AC?平面PAC，OM?平面PAC，

所以OM∥平面PAC.

因為OE?平面MOE，OM?平面MOE，OE∩OM＝O，

所以平面MOE∥平面PAC.

(2)因為點C在以AB為直徑的⊙O上，

所以∠ACB＝90°，即BC⊥AC.

因為PA⊥平面BAC，BC?平面ABC，

所以PA⊥BC.

因為AC?平面PAC，PA?平面PAC，PA∩AC＝A，

所以BC⊥平面PAC.

因為BC?平面PCB，

所以平面PAC⊥平面PCB.

(3)如圖，以C為原點，CA所在的直線為x軸，CB所在的直線為y軸，建立空間直角坐標系C—xyz.

因為∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，

所以CB＝2cos 30°＝，AC＝1.

延長MO交CB于點D.

因為OM∥AC，

所以MD⊥CB，MD＝1＋＝，

CD＝CB＝.

所以P(1,0,2)，C(0,0,0)，B(0，，0)，M.

所以＝(1,0,2)，＝(0，，0)．

設平面PCB的法向量m＝(x，y，z)．

因為

所以，即

令z＝1，則x＝－2，y＝0.

所以m＝(－2,0,1)．

同理可求平面PMB的一個法向量n＝(1，，1)．

所以cos〈m，n〉＝＝－.

因為二面角M—BP—C為銳二面角，所以cos θ＝.