Question

9．已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，$SA=4\sqrt{3}$，AB=2，AC=4，∠BAC=60°，則球O的表面積為（　　）

• A． 4π
• B． 12π
• C． 16π
• D． 64π

Answer 1

分析 由三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，$SA=4\sqrt{3}$，AB=2，AC=4，∠BAC=60°，知BC=2$\sqrt{3}$，∠ABC=90°．故△ABC截球O所得的圓O′的半徑r=2，由此能求出球O的半徑，從而能求出球O的表面積．

解答 解：如圖，三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，
∵SA⊥平面ABC，$SA=4\sqrt{3}$，AB=2，AC=4，∠BAC=60°，
∴BC=$\sqrt{4+16-2×2×4×cos60°}$=2$\sqrt{3}$，
∴∠ABC=90°．
∴△ABC截球O所得的圓O′的半徑r=2，
∴球O的半徑R=4，
∴球O的表面積S=4πR²=64π．
故選：D．

點評 本題考查球的表面積的求法，合理地作出圖形，數(shù)形結(jié)合求出球半徑，是解題時要關(guān)鍵．