Question

如圖，拋物線y=ax²-

3

2

x-2（a≠0）的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，已知B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）
（1）求拋物線的解析式
（2）試判斷△ABC的形狀，并說明
（3）若點(diǎn)M是線段BC下方的拋物線上一點(diǎn)，求△MBC的面積的最大值，并求出此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）該函數(shù)解析式只有一個(gè)待定系數(shù)，只需將B點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式中即可．
（2）首先根據(jù)拋物線的解析式確定A點(diǎn)坐標(biāo)，然后通過證明△ABC是直角三角形來推導(dǎo)出直徑AB和圓心的位置，由此確定圓心坐標(biāo)．
（3）△MBC的面積可由S_△MBC=

1

2

BC×h表示，若要它的面積最大，需要使h取最大值，即點(diǎn)M到直線BC的距離最大，若設(shè)一條平行于BC的直線，那么當(dāng)該直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，該交點(diǎn)就是點(diǎn)M．

解答： 解：（1）B（4，0）代入，可得16a-6-2=0，∴a=

1

2

，
∴拋物線的解析式y(tǒng)=

1

2

x²-

3

2

x-2；
（2）由（1）的函數(shù)解析式可求得：A（-1，0）、C（0，-2）；
∴OA=1，OC=2，OB=4，
即：OC²=OA•OB，又：OC⊥AB，
∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；
∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，
∴△ABC為直角三角形；
（3）已求得：B（4，0）、C（0，-2），可得直線BC的解析式為：y=

1

2

x-2；
設(shè)直線l∥BC，則該直線的解析式可表示為：y=

1

2

x+b，當(dāng)直線l與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可列方程：

1

2

x+b=

1

2

x²-

3

2

x-2，即：

1

2

x²-2x-2-b=0，且△=0；
∴4-4×

1

2

（-2-b）=0，即b=-4；
∴直線l：y=

1

2

x-4．
所以點(diǎn)M即直線l和拋物線的唯一交點(diǎn)，有：

y= 1 2 x2- 3 2 x-2 y= 1 2 x-4

，解得：x=2，y=-3
即M（2，-3）．
過M點(diǎn)作MN⊥x軸于N，
S_△BMC=S_梯形OCMN+S_△MNB-S_△OCB=

1

2

×2×（2+3）+

1

2

×2×3-

1

2

×2×4=4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線方程，該題的難度不算太大，但用到的瑣碎知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性很強(qiáng)．熟練掌握直角三角形的相關(guān)性質(zhì)以及三角形的面積公式是理出思路的關(guān)鍵．