Question

19．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}（2a-1）x+3a，x＜1\\{a^x}，x≥1\end{array}$滿足對任意x₁≠x₂都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＜0成立，那么a的取值范圍是（　　）

• A． （0，1）
• B． $（0，\frac{1}{2}）$
• C． $[\frac{1}{4}，\frac{1}{2}）$
• D． $[\frac{1}{4}，1）$

Answer 1

分析 由題意可得f（x）在R上為減函數(shù)，分別考慮各段的單調(diào)性，可得2a-1＜0，0＜a＜1，注意x=1處的情況，可得2a-1+3a≥a，求交集即可得到所求范圍．

解答 解：對任意x₁≠x₂都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＜0成立，
即有f（x）在R上為減函數(shù)，
當x＜1時，y=（2a-1）x+3a，遞減，即有
2a-1＜0，解得a＜$\frac{1}{2}$，①
當x＞1時，y=a^x遞減，即有0＜a＜1，②
由于x∈R，f（x）遞減，即有2a-1+3a≥a，
解得a≥$\frac{1}{4}$，③
由①②③，可得$\frac{1}{4}$≤a＜$\frac{1}{2}$．
故選C．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和運用，考查運算能力，注意定義的運用，屬于中檔題和易錯題．